הנושאים החמיםתמונת מקור - Leonardo AI
אפתח את המאמר בשאלה - מהו (מספר) האפס?
מהם תפקידיו של האפס?
ובכן, במתמטיקה המודרנית יש לאפס שני תפקידים מרכזיים ועיקריים.
(ישנם עוד תפקידים נוספים, עליהם תוכלו לקרוא בלינק כאן).
הראשון, הוא לאפשר לנו להבדיל בין מספרים כמו: 52 ו- 502, כלומר האפס מציין את המקום הריק במערכות מספרים פוזיציוניות כמו מערכת המספרים שלנו.(להסבר נרחב בנושא זה ראו בלינק כאן.)
אולם לאפס תפקיד נוסף בעל משמעות מתוחכמת ועמוקה יותר מעבר לתפקידו כמרווח, והוא לייצג כמות של אין.
לתרבויות העתיקות היה קושי מהותי עם תפיסה זו של מושג האפס. עבורן מספר משמעו כמה דברים, כמה חפצים, ואילו כאן מדובר במספר שמייצג "שום דבר".
המתמטיקאי והפיזיקאי האנגלי אלפרד נורת' וייטהד (1861-1947) התבטא פעם על מורכבותו של המספר אפס ואמר:
"הנקודה לגבי האפס היא שאין אנו זקוקים לו בפעילות היומיומית שלנו. אין איש הולך לקנות אפס דגים…
במובן מסוים זהו המספר המונה התרבותי ביותר, והשימוש בו כפוי עלינו רק על ידי הצרכים של הצורות התרבותיות של החשיבה".
ואילו פרופסור למתמטיקה - צ'ארלס סייף (Charles Seife) האמריקאי כתב על כך בספרו "Zero: The Biography of a Dangerous Idea"("אפס: הביוגרפיה של רעיון מסוכן"):
"תרבויות שִׁנְּסוּ מותניים כנגדו ופילוסופיות קרסו תחת השפעתו, משום שהאפס שונה מכל המספרים האחרים. הוא מאפשר הצצה במשהו שכלל לא ניתן להעלות על הדעת, באינסוף…"
ולהבדיל אלפי הבדלות…כעת בואו ונלמד יחד את לשונו הנפלא של רבינו אברהם אבן עזרא בהקדמה לספרו המונומנטלי "ספר המספר" (הספר זמין לקריאה והורדה באדיבות אתר "היברובוקס" כאן) בנושא זה - וזהו לשונו:
"על כן עשו חכמי הודו כל מספרם על תשעה (בלינק כאן תוכלו לקרוא בהרחבה על הסקירה ההיסטורית בנושא סימונו המתמטי של המספר 0) ועשו צורות לט׳ מספרים והם 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ואני כתבתי במקומם:
א, ב, ג, ד, ה, ו, ז, ח, ט,
והנה לעולם אם יש בידך מספר באחדים לפני הכללים שהם העשרות (כמו 25.15 . "האחדים" - הנכתבים בספרה אחת, נקראים מספרים "ממעלה ראשונה", העשרות - הנכתבות בשתי ספרות נקראים מספרים "ממעלה שניה" וכו') יכתוב בתחלה מספר האחדים ואחר כך מספר הכללים.
(רבינו התכוון כאן לסדר כתיבה מן הימין לשמאל - לא כפי שאנו מורגלים לכתוב מספרים משמאל לימין…
ולכן עבור כתיבת מספר כמו 25 יש לכתוב את הספרה 5 המייצגת את "האחדות" במספר ולאחר מכן את הספרה 2 המייצגת את "העשרות" במספר.)
ואם אין לו מספר באחדים ויש לו מספר במעלה השנית שהם העשרות (כגון,20/30/40 וכדומה) ישים כדמות גלגל O בראשונה להורות כי אין במעלה הראשונה מספר ויכתוב המספר שיש לו בעשרות אחריו.
ואם הכלל שלו במאות ובעשרות (כגון 110/220/350 וכדומה)יכתוב גלגל (דהיינו 0 כנ"ל) בראשונה ואחר כך מספר העשרות בשנית ומספר המאות בשלישית.
ואם יש לו מספר אלפים ברביעית ומספר עשרת אלפים בחמישית ומספר מאות אלפים בששית .כי א׳י׳ק׳ יחזור ברביעית לאלפים ובשביעית לאלף אלפים ובעשירית לאלף אלפי אלפים וככה עד אין קץ.
ואם יש לו מספר אחדים ומאות ואין לו עשרות (כגון, 507/204 וכדומה) יכתוב מספר האחדים בראשונה וגלגל בשנית ומספר המאה בשלישית.
ועל זה הדרך יעשה לשמור מעלות הגלגל לפי מעלות החשבון שיש לו לשום גלגל בראשונה או שני גלגלים כפי מה שיצטרך לו בראש או באמצע .
וזה הגלגל o וטעמו כגלגל כקש לפני רוח (על פי הנאמר בפסוק בתהילים פ"ג. י"ד) ואינו אלא לשמור המעלות ובלשון לעז (בלטינית -Cifra ובגרמנית Ziffer) שמו סיפרא"
עד כאן לשון רבינו האבן עזרא ז"ל.
כעת, בואו ותראו איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…
יומן מסע - חלק א:
לעיל הזכרתי כי אחד מתפקידיו של המספר אפס במתמטיקה המודרנית הוא לסמן/לסמל שום דבר…
פשוט כלום!
גּוּרְנִישְׁט!
האקסל/שיטס כידוע לכם - מצייתים באדיקות לחוקי המתמטיקה…
ומה בכל הקשור להתייחסות תא ריק?
זו באמת שאלה מצוינת…
אני רוצה שתראו את הצילום מסך שלפניכם.(מתוך הגיליון המצורף להלן בלינק)
ואני אסביר…
בתא C1 מבנה הנוסחה הוא:
קוד:
=A1התוצאה - מוחזר תא ריק לחלוטין!
רגע, זה ממש ברור!
נכון! כי תא A1 הוא ממש ריק לחלוטין!
יופי מצוין, בואו נתקדם שלב…
ההחזר בתא C2 מעניין במיוחד כפי שתיכף אסביר.
אך תחילה, זהו מבנה הפונקציה בתא C2:
קוד:
=SUM(A2)הופ!
ההחזר כאן הוא 0!
וכאן הבן שואל, מדוע ולמה?
מדוע התוצאות בתאים C1 ו C2 שונות זו מזו?
הרי ההפניות הן לתאים A1 ו A2 ושני התאים האלו ריקים לחלוטין מכל תוכן?
מה פשרו של המספר 0 שהוחזר בתא C2 על ידי פונקציית sum?
והתשובה היא - שכאשר אנו דנים באופן סתמי ומבקשים מהאקסל/ שיטס לומר לנו מה כתוב /הם רואים בתא ריק כמו A1 ההחזר הוא תא ריק - כלומר כלום!
אך כאשר הבקשה "מועברת" באמצעות פונקציית sum - זה כבר סיפור אחר לגמרי!
ומדוע? אתם שואלים…
התשובה היא - כי פונקציית sum "במהותה" היא פונקציה שמבצעת פעולת חיבור.
פעולת חיבור (עם סימון + הידוע לכולכם) היא פעולה מתמטית המתבצעת בין מספרים בלבד!
ולכן, כאשר "מבקשים" מפונקציית sum לסכום תא ריק - ההחזר הוא 0!
הפונקציה פשוט "מבינה דבר מתוך דבר" ומדברת בשפת המספרים בלבד!
האם ההחזר כאן הוא אמת?
בוודאי שכן! הרי אמרנו שמשמעות האפס היא כלום / שום דבר…ואכן תא C2 הוא ריק מכל טקסט שהוא!
אין שם כלום! אין שם שום דבר!
זו לוגיקה נפלאה ועמוקה!
יומן מסע - חלק ב:
אתם יכולים בהחלט לשאול - מדוע אני מספר לכם את כל הנ"ל ומהי ההשלכה המעשית לכך בתכל'ס?
אז אני אסביר…
נכון "שבתפיסת עולמה" של פונקציית sum כלום/שום דבר = אפס. אך צריך לזכור שאם נרצה לחשב ממוצע בעזרת פונקציית average - שם יש לתת את הדעת על מספר 0 שהוזן במערך החישוב לממוצע.
ומדוע?
כי ההגדרה המתמטית לממוצע היא סכום האיברים בסדרה סופית לחלק במספרם (כלומר, מספר האיברים בסדרה).
לדוגמא:
איברי הסדרה - 1.2.3.4
תחילה נחבר את סכומם - 10= 1+2+3+4
ולאחר מכן נבצע פעולת חילוק במספר האיברים 2.5 = 10/4
הממוצע כאן = 2.5
במישור הפדגוגי- כאשר מבצעים ממוצע כיתתי/ממוצע פרטני לתלמיד/ממוצע לסך מקצועות וכדומה, גם לציון 0 יש משקל מכריע בחישוב הממוצע הסופי.
ציון 0 שנכלל בסך הציונים שנבדק, בהחלט יכול לשנות משמעותית את הממוצע הסופי.
זו בדיוק הלוגיקה והסיבה לכך שפונקציית average "נותנת מקום" וכוללת גם תאים שנכתב בהם 0.
פונקציית average לא מתחשבת (כלומר "לא מעניין אותה…") בגורם להזנת 0 בתא/ים - אם מקורו בהזנה ידנית מכוונת או שמדובר בפלט של פונקציית sum וכדומה…
הכול מחושב ונכלל בחשבון!
תראו שוב את הצילום מסך הנ"ל, שם תוכלו להבחין כי ההחזר בתא C8 הוא 2.5
ומדוע?
כי חלוקת סכום האיברים ( 10 = 0+7+3+0) במספר האיברים (4) = 2.5
ללא שימת לב מספקת - תוצאות הממוצע עלולות להיות שגויות!
אומרים שהמודעות לבעיה היא חצי פתרון…
אני לא אסתפק בחצי פתרון אלא אציג לכם 2 פתרונות מלאים ומושלמים בסוגיה זו.
פתרון 1:
זהו מבנה הפונקציה בתא C9:
קוד:
=AVERAGEIF(C1:C5,">0")אני אסביר:
לפונקציית averageif ישנם 2 ארגומנטים חובה.
הארגומנט הראשון Range - כלומר, טווח תאים לחישוב הממוצע שצריך לעמוד בקריטריון שיוצג בארגומנט השני, לרבות מספרים או שמות, מערכים או הפניות המכילות מספרים.
הארגומנט השני Criteria - כלומר, הקריטריון- הנתון שהוא התנאי לתוצאה. יכול להיות מספר, ביטוי, התייחסות לתא או טקסט (יכול להכיל אופרטורים לוגיים (>, <, <>, =) ותווים כלליים (*,?) עבור התאמה חלקית.
בדוגמא הנ"ל - הקריטריון הוא גדול מ 0
(תנאי אחד בלבד ולכן אין צורך להשתמש בפונקציית averageifs המיועדת להצבה של תנאים מרובים…)
והופ!
ההחזר מהפונקציה שווה 5
שהרי 10 חלקי 2 שווה ל 5…
פתרון 2:
לחילופין ניתן לפתור זאת בעזרת "הסרת שגיאות" בתאי המקור - בהם קיים החזר של פונקציית sum.
תראו למשל את מבנה הפונקציה בתא F2:
קוד:
=IF(SUM(A2)=0,"",SUM(A2))פונקציית if מחזירה תא ריק "" בכל פעם שההחזר על ידי פונקציית sum שווה 0.
ורק כאשר ההחזר הוא גדול מ 0 - הוא נכתב ומוחזר בתא.
במקרה כזה, גם כאשר יערך חישוב ממוצע על ידי פונקציית average רגילה - התוצאות תהיינה ללא שגיאות…
כפי שתוכלו להבחין בכך בהחזר של תא F8:
קוד:
=AVERAGE(F1:F5)ואם תשאלו, איזה פתרון מומלץ/ עדיף?
האמת שזה לא משנה…בחרו בפתרון שהכי נוח לכם…
העיקר שהתוצאות של הממוצע תהיינה אמיתיות וללא שגיאות.
ועד כאן לאקסל ולעולמן של הפונקציות...
לסיום, בתחילת מאמר זה הובא על אחד מתפקידיו העיקריים של המספר אפס והוא להיות "שומר מקום" וכלשונו של האבן עזרא ז"ל "אינו אלא לשמור המעלות…"
ובעניין זה ראיתי מרגניתא טבא מהרב אברהם יהושע העשיל מאפטא זצ"ל בספרו "אוהב ישראל" (לקוטי נ"ך - ירמיהו) על הפסוק "בַּיָּמִים הָהֵם וּבָעֵת הַהִיא נְאֻם יי יְבֻקַּשׁ אֶת עֲוֺן יִשְׂרָאֵל וְאֵינֶנּוּ וְאֶת חַטֹּאת יְהוּדָה וְלֹא תִמָּצֶאינָה כִּי אֶסְלַח לַאֲשֶׁר אַשְׁאִיר" (ירמיהו נ.כ) וזהו לשונו הנפלא:
ולכאורה אינו מובן כוונתו בנבואה זו. למה ועל מה יבוקש העון. ולא טוב ויפה הוא שיהיה נעלם ונאבד זכרו ולא יעלה על הלב לעולם?
אך מצינו שיש באותיות שמחשבין בהם הסוחרים כל החשבונות הצריכים להם. יש אות א' הנקרא בלשונם נו"ל ואות נו"ל בעצמו אינו נחשב בהמספר לכלום. רק פעולתו הוא להגדיל מספר האות הכתוב אחריו מיחידית לעשירית. ומעשירית למאות כו' כידוע להעוסקים בזה.
כמו כן העבירה בעצמה אינה נחשבת לכלום. רק פעולתה הוא להגדיל מספר הזכיות שנעשו מהעבירות בעשותו תשובה שלימה מאהבתו יתברך. וכמאמר חז"ל מקום שבע"ת עומדים כו'. וכן יהי רצון שנזכה לשוב לשמו יתברך באמת בכל לבבינו מאהבת השי"ת במהרה בימינו אמן". עכ"ל
נפלא מאוד!
לינק לגיליון שיטס הכולל ביאור וסימולציה על מקומו של המספר 0 בפונקציות sum & average - מצורף כאן.
- Next article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 48 ▪︎ כך תבדקו בעזרת האקסל/גוגל שיטס האם מספר X הוא "מספר הרשאד" או לא?
- Previous article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 46 ▪︎ מסע מרתק אל תכונותיו המתמטיות של המספר 1 ▪︎ "האחד - סיבת כל המספר ואיננו מספר…" (ראב"ע)
