הנושאים החמיםתמונת מקור - Leonardo AI
לפני הרבה הרבה שנים - שהיינו ילדים, אמא / הגננת לימדו אותנו לספור עד עשר.
אחת,
שתיים,
שלוש,
ארבע,
חמש,
שש,
שבע,
שמונה,
תשע,
עשר…
הפנמנו את החומר באופן חוויתי בעזרת שירים נלווים (כמו למשל: "עשר אצבעות לי יש…" ועוד) שהעמיקו את תהליך הלמידה וסייעו לנו לקלוט טוב יותר את הנושא.
מאז, עברו הרבה שנים…
מאז, למדנו על מערכת המספרים ופעולות מתמטיות שונות…
אם אשאל כל אחד מכם - האם הספרה 1 (אחת) היא מספר?
התשובה תהא מיידית - בוודאי שכן…!
מספר 1 הוא הרי מספר "טבעי"!
אז אני רוצה להפתיע אתכם ולצטט בפניכם בשורות הבאות כמה מילים מהספרות התורנית שעוסקים בנושא זה בדיוק.
א. רבינו אברהם אבן עזרא ז"ל בספרו "ספר השם" (תחילת השער השלישי, ספר זה זמין לקריאה ולהורדה בלינק כאן) כותב וזהו לשונו:
"האחד סיבת כל המספר ואיננו מספר…"
ב. ובפירושו על התורה (שמות ג. ט"ו) כתב רבינו האבן עזרא ז"ל:
"ודע, כי האחד סוד כל המספר ויסודו…."
ג. רבינו המהר"ל מפראג זצ"ל - מאור עיני ישראל בספרו "גבורת השם" (פרק נ"ד) כותב כך:
"כי האחד אף על גב שהוא יסוד המספר אינו מספר רק הוא יסוד המספר"
וכאן הבן שואל - מה פירושם של דברים אלו?
מה הפשט?
התשובה היא - שהכוונה בכל זה היא שהמספר 1 הוא ייחודי והוא "מין בפני עצמו" כלפי שאר המספרים.
ייחודיות זו באה לידי ביטוי בכמה תכונות מתמטיות - אלגבריות.
בשורות הבאות אני אסביר ואתן כמה דוגמאות לכך:
ביטוי מתמטי 1:
לכל המספרים יש מספר לפניהם ומספר אחריהם, אך לפני 1 אין מספר.
(חשוב לציין כי למרות שהמספר אפס נחשב לעיתים בהגדרתו כמספר "טבעי" וגם זוגי, אך בפשוטן של דברים האפס אינו נחשב מספר "ממשי" וכמאן דליתא ולכן תחילת המספרים היא מ-1 ואילך…ובעזרת ה' אתייחס לסוגיה זו במאמר נפרד)
ביטוי מתמטי 2:
כל מספר הוא חצי מחיבור המספר שלפניו במספר שאחריו,
ואילו האחד הוא חצי המספר שאחריו בלבד.(כאמור לעיל, מספר 0 לא רלוונטי כיוון שאינו מעלה ולא מוריד ואין בו שום נפקא מינא - "כמאן דליתא דמי")
ביטוי מתמטי 3:
כאשר בסיס החזקה הוא 1 - התוצאה תהא תמיד 1 בכל מעריך שיהיה.
ביטוי מתמטי 4:
שורשו של המספר 1 הוא 1 בכל "דרגת" שורש שהיא (שורש שלישי/עשירי וכו')
אפרופו המונח שורש שלישי, אני אוסיף עוד כמה מילים על מהותו של שורש שלישי "כתרגום" של חזקה עם מעריך שבר.(בהמשך המאמר תבינו מדוע הקדמה/תזכורת זו חשובה…)
ובכן, שורש הוא פעולה ההפוכה מחזקה.
שאנו שואלים מהו שורש של המספר 4 - אנו בעצם מתכוונים לשאול מהו המספר שאם נכפול אותו בעצמו (כלומר בחזקת 2) התוצאה תהא 4.
והתשובה היא 2
שהרי 4 = 2 * 2
בחוקי חזקות - כאשר המעריך הוא שבר, מבנה החזקה משתנה לשורש כאשר:
המונה - הוא החזקה הפנימית.
והמכנה - מהווה את "דרגת" השורש.
מכאן בדיוק נובעת המסקנה המתמטית שכל שורש ריבועי הוא שווה לחזקת 0.5 (חצי).
תזכרו את זה…
והנה עוד דוגמא של שורש שלישי
נכון מאוד…שהרי 2 בחזקת 3 = 8 (2*2*2)
ביטוי מתמטי 5:
כל מספר ללא ריבועו (כלומר, בחזקת 0) חוץ מבסיס 0 (יש להדגיש!!!) שווה ל 1.
מהי הסיבה לכך?
טוב תראו, זו שאלה פילוסופית ונכתבו עליה מספר הסברים…
אני אציג בפניכם אחד מהם כהסבר "שמניח את הדעת"...
ביטוי מתמטי 6:
כאשר נייחס כל מספר אל 1 - המספר ישאר בעצמותו.
ראינו כי ה"אחד" הוא מקורי לעצמו, אין מספר שקדם לו, והוא אף מהווה מקור לכל המספרים
הבאים אחריו, בכך שהם בנויים ממספר שונה של "אחדים".
ה"אחד" איננו רק היסוד עליו נבנה הכול והשורש המצמיח את הכול, אלא הוא אף מקיים את הכול, שהרי לו נבטל את ה"אחד" לא תתכן כלל מציאות של מספרים.
כפי שכתב המהר"ל מפראג בספרו "דרך חיים" (על פרקי אבות פ"ה משנה י"ז) וזה לשונו:
"מדריגת האחד שאינו מספר, והוא יסוד והתחלת המספר שהוא קיום העולםֹ.
שאי אפשר רק שיהיה הכלֹ אחדֹ.
ודבר זה הוא קיום העולם בודאי, כאשרֹ לאֹ יפרדֹ ולא יחלק"
נפלא מאוד!
כעת בואו תראו איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…
לפניכם צילום מסך מתוך הגיליון המצורף בלינק להלן:
בגיליון זה ערכתי את כל הביטויים המתמטיים למיוחדותו של המספר 1 "בשפה" של האקסל.
בעמודה A:
קיימת רשימת מספרים קצרצרה החל מ 1 עד 10
בעמודה B-C:
מחושבים המספרים שלפני / אחרי המספרים שבעמודה A.
כך מבנה הנוסחה בתא B3 למשל:
קוד:
=A3-$A$3וכך מבנה הנוסחה בתא C3 למשל:
קוד:
=A3+$A$3וכפי שהוסבר לעיל בביטוי מתמטי 1.
בעמודה D:
מוחזרות התוצאות של חיבור המספרים לפני ואחרי המספרים שבעמודה A לחלק ל 2.
כך מבנה הנוסחה בתא D4 למשל:
קוד:
=SUM(A3,A5)/2וכפי שהוסבר לעיל בביטוי מתמטי 2.
בעמודה E:
מוחזרות תוצאות של פעולות חזקה - כאשר בסיס החזקה הוא 1.
התוצאה היא 1 בכל מעריך שהוא.
כך מבנה הפונקציה בתא E3 למשל:
קוד:
=POWER(1,A3)וכפי שהוסבר לעיל בביטוי מתמטי 3.
בעמודה F:
מוחזרות תוצאות שורש ריבועי של הערך בעמודה A בעזרת פונקציית sqrt.
כך מבנה הפונקציה בתא F3 למשל:
קוד:
=SQRT(A3)בעמודה G:
כמו בעמודה F מוחזרות תוצאות שורש, רק שהפעם מדובר בשורש שלישי.
כך מבנה הפונקציה בתא G3 למשל:
קוד:
=POWER(A3,1/3)אני אזכיר כי תפקידה של פונקציית power - לחשב חזקה. כלומר בסיס במעריך החזקה (2 הארגומנטים שבה)
לעיל בהסבר לביטוי מתמטי 4 הסברתי באריכות כי כאשר מעריך החזקה הוא שבר מבנה החזקה משתנה לשבר.
תוכלו לראות את הנ"ל הלכה למעשה בחישוב שורש "שלישי" באמצעות המרה לחזקה עם מעריך שבר - (⅓)
בעמודה H:
מתבצעת אותה שיטת חישוב, והפעם עבור שורש "עשירי" באמצעות המרה לחזקה עם מעריך שבר - (1/10).
אנו רואים בכל הנ"ל כי שורשו של המספר 1 הוא 1 בכל "דרגת" שורש שהיא…
בעמודה I:
מוחזרות תוצאות של פעולות חזקה - כאשר מעריך החזקה הוא 0.
כך מבנה הפונקציה בתא H3 למשל:
קוד:
=POWER(A3,0)התוצאה אחת היא לכולן והיא - 1.
וכפי שהסברתי לעיל בביטוי מתמטי 5.
בעמודה J:
מוחזרות התוצאות לפעולת חזקה כאשר מעריך החזקה הוא 1.
כך מבנה הפונקציה בתא J3 למשל:
קוד:
=POWER(A3,1)אנו רואים כי כאשר נייחס כל מספר אל 1 - המספר ישאר בעצמותו.
וכפי שנתבאר לעיל בביטוי מתמטי 6…
נפלא מאוד!
ועד כאן לאקסל ולעולמן של הפונקציות.
מקווה שנהניתם ממהלך הדברים ומהחישובים המתמטיים השונים…
לסיום. כפי שהזכרתי במאמר כאן, ביהדות - מספר האחד מסמל את האחד האמיתי
שהוא מקור המציאות כולה,
והוא המחיה ומקיים אותה,
שלא תתכן מציאות בלעדיו,
ושביטול המציאות כולה לא יבטל את מציאותו.
הלא הוא הקדוש ברוך הוא שהוא האחד האמיתי!
וכך הוא לשונו הזך של רבי יוסף אלבו זצ"ל בספרו המונומנטלי "ספר העיקרים" (מאמר שני פרק עשירי):
"ואחר שאין בנמצאים נמצא שלא ישתתף עמו זולתו בדבר ושלא ישווה לו דבר זולת השם יתברך, הוא מבואר שאין בעולם מי שיפול עליו שם האחד שיהיה מובדל מכל מה שזולתו באמתות אלא האלוה יתברך, לפי שהוא לבדו מחויב המציאות, וכל הנמצאים זולתו אפשרי המציאות וישתתפו זה לזה באפשרות המציאות, ואין מי שישתתף לו בחיוב המציאות ולא בדבר מן הדברים ואפילו בשם הנמצא בלבד…
ואחר שהתבאר שהאחד באמתות יאמר על הנמצא שלא ישווה אליו ולא ידמה אליו דבר, והתבאר שמחויב המציאות שנתאמת מציאותו במופת אין דומה לו ולא ישתתף לו שום נמצא בעניין מן העניינים, הוא מבואר שתואר האחד הנאמר עליו יתברך כאלו הוא ענין שוללי ולא ענין חיובי, ולזה לא יחייב ריבוי בעצמותו יתברך.
וזהו שנתבאר בתורה בפירוש שמע ישראל ה' אלהינו ה' אחד,
כלומר כי כמו שבבחינת היותו אלהינו, רצה לומר ממציא כל הנמצאים, והוא המופת הראשון שכתבנו, יתחייב שיש מחויב המציאות הוא לבדו עילת הכול ואין לו דומה בזה, כמו שאמר הכתוב ואל מי תדמיוני ואשוה, כי כולם הם עלולים זולתו, כן מצד עצמו הוא אחד ואין שני דומה לו ואין זולתו מחויב המציאות…" עכ"ל.
לינק לגיליון שיטס הכולל ביאור לכך שהאחד "איננו מספר" בראי המתמטי - מצורף כאן.
- Next article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 47 ▪︎ כמה מילים על מהותו ומקומו של המספר אפס בראי המתמטיקה והאקסל ▪︎ "וזה הגלגל 0 - אינו אלא לשמור המעלות..." (ראב"ע)
- Previous article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 45 ▪︎ כמה מילים אודות פונקציות QUOTIENT & MOD באקסל/גוגל שיטס ▪︎ ואיך זה קשור ללוח ספירת העומר?
