אקסלומדע'ס פרק 42 ▪︎ תכירו את פונקציות INT & TRUNC באקסל/גוגל שיטס ▪︎ ואיך זה קשור לרזי ומסתורי המספר 100 ביהדות? ▪︎ "וַתָּשֶׁת עָלַי כַּפֶּכָה"

אפתח את המאמר במילי דאורייתא:

א. בתלמודא (בבלי - מסכת חגיגה דף י"ב ע"א וכן במסכת סנהדרין דף ל"ח ע"ב) איתא:
"אָמַר רַב יְהוּדָה אָמַר רַב, אָדָם הָרִאשׁוֹן, מִסּוֹף הָעוֹלָם וְעַד סוֹפוֹ הָיָה, שֶׁנֶּאֱמַר לְמִן הַיּוֹם אֲשֶׁר בָּרָא אֱלֹהִים אָדָם עַל הָאָרֶץ וּלְמִקְצֵה הַשָּׁמַיִם וְעַד קְצֵה הַשָּׁמָיִם, כֵּיוָן שֶׁסָּרַח הִנִּיחַ הַקָּדוֹשׁ בָּרוּךְ הוּא יָדוֹ עָלָיו וּמִיעֲטוֹ, שֶׁנֶּאֱמַר וַתָּשֶׁת עָלַי כַּפֶּכָה".

ב. והנה בגרסת הש"ס דלעיל (שלפנינו…) לא נתבאר לכמה שיעור נתמעט קומתו של אדם הראשון.

"ובמסורת הש"ס" (שם במסכת חגיגה) ציין לדברי הילקוט שמעוני (על התורה,דברים רמז תתכז) שכתב "והעמידו על מאה אמה"

כמו כן ציין לדברי הרשב"ם על דברי הש"ס (מסכת בבא בתרא דף ע"ה ע"א) "וָאוֹלֵךְ אֶתְכֶם קוֹמְמִיּוּת, רַבִּי מֵאִיר אוֹמֵר, מָאתַיִם אַמָּה, כִּשְׁתֵּי קוֹמוֹת שֶׁל אָדָם הָרִאשׁוֹן"
וכתב הרשב"ם "כשתי קומות של אדם הראשון - שמיעטו עד ק' אמה במסכת חגיגה יב"

ובמסכת סנהדרין (דף ק ע"א) הובאו דברי רבי מאיר, ופירש רש"י ז"ל:
"והעמידו על מאה אמה שנאמר ותשת עלי כפך, כף בגימטריא הכי הוי".

ג. וכבר כתב רבינו יוסף חיים זצ"ל - בעל הבן איש חי בספרו "בן יהוידע" (שם במסכת חגיגה) וזהו לשונו:
"דאין דברים אלו כפשוטן דקאי על שיעור קומת גופו אלא איירי על סוד הנשמות שהיו כלולות בו" עיין שם.
ודברים אלו ברורים ונהירין לכל איש משכיל.

ד. צא ולמד ממה שכתב רבינו האר"י ז"ל בכמה דוכתין באריכות גדולה על שיעור קומתו של אדם הראשון לפני ואחרי החטא דעץ הדעת וסודם של דברים במהות חטאו של אדם הראשון.
וכל דבריו ז"ל דברי אלוקים חיים עמוקים וטמירים והמה סתרי תורה הידועים ליודעי ח"ן.

ה. ברשותכם, אעתיק כמה מילים מקולמוסו הקדוש של רבינו המהרח"ו ז"ל בשער הפסוקים (פרשת בראשית דרוש ג') רק לשבר במעט את אוזנינו ולהטעים את דעתינו בבחינת "טיפה מן הים" על שיעור "קומתו" של אדם הראשון. וזהו לשון המהרח"ו ז"ל:
ועתה נבאר ענין אדה"ר, אשר גופו נברא מעולם הבריאה ממש, כי הנה נחצב מכסא הכבוד שהוא עולם הבריאה. והיה כולל בגופו כל ג' עולמות בי"ע. ונמצא, כי היה ארכו מסוף העולם ועד סופו. וכנז"ל, כי ג' עולמות אלו כלולים, ונקרא עולם אחד של ששת אלפים שנה.

ובזה יתבאר לך מעלת אדם קודם שחטא, שהיה עליון מכל מלאכי מרום, ואפילו מן מטטרון. כי הוא ביצירה לבד, ואדם היה כולל כל ג' עולמות בי"ע בבחי' גופו. ולא עוד, אלא שהיה כולל אותם אז, בהיותם גבוהים, למעלה מן המקום שעומדים בו עתה. כי גם העולמות היו גבוהים קודם שחטא אדם, ועומדים למעלה מן המקום שירדו בו אחר שחטא אדם…

ונבאר ענין הנשמות אשר היו כולם כלולים באדם. ובזה יתבאר ענין מארז"ל, שני אלפים תהו, שני אלפים תורה, שני אלפים ימות המשיח.

דע, כי כשנברא אדה"ר, כל הנשמות נכללו בו אז, כנזכר בפרשת כי תצא, במצות שילוח הקן. ורצה הקב"ה שיהיה שנות העולם ששת אלפים שנה, שיתוקנו בהם כל הנשמות ההם הבאים מבי"ע, שהם ששת אלפים כנזכר…

והנה קודם שחטא, היו כל אלו ששת אלפים דרגין דנשמתין כלולות בו, וכאשר חטא אדה"ר, נתמעט ועמד על מאה אמה, בסוד ותשת עלי כפכה, כמ"ש חז"ל ואלו המאה אמות, הם עצמם מ"ש רז"ל במקום אחר, שהיה חלתו של עולם, כי הנה שיעור החלה הבינונית, היא אחד מחמשים, כשעור התרומה שהיא תרי ממאה וכו…"

ו. לאחר כל הקדמה זו , בואו ונלמד יחד את דבריו הנפלאים עד מאוד שכתב (בדרכו הוא, שניתן להגדירה "העומק שבפשט"...)מאור עיני ישראל רבינו יהודה ליווא בן בצלאל - המהר"ל מפראג זצ"ל בספרו גור אריה על התורה (ספר דברים ד. ל"ב באמצע דבריו) אודות מהות המספר מאה שדיברו בו רבותינו ז"ל כנזכר לעיל, וזהו לשונו:
"אבל כאשר חטא, ונטה אל יצר הגוף, כי אין חטא בדבר שהוא אלקים, והחטא הוא בגוף, ולפיכך כאשר חטא האדם מעטו והעמידו על מאה אמה.

ורצה לומר, אף על גב שמיעט ממנו הצלם האלוקי שראוי לו, לא היה בטל לגמרי, רק שמיעט אותו, מכל מקום נשאר ענין אלקי מה, ולא בטל ממנו מכל וכל, רק שקודם שחטא היה עליו צלם האלוקים הזה עד שהוא מן הארץ עד הרקיע ומן המזרח עד המערב, שזה יורה שיש לו צלם אלקי בתחתונים בשלימות, ולפיכך היה מן הארץ עד הרקיע וממזרח למערב. אבל אחר שחטא לא היה לו לגמרי, ולפיכך אמר שהעמידו על מאה אמה.

כי מאה אמה יש לו סגולה שאין בכל המספרים, וזה כי המאה הוא סכום מספר, שהוא מאה, ולא תמצא בו חלק כלל."

(אקדים הקדמה להבין את דברי רבינו המהר"ל:
במתמטיקה -להבדיל בין קודש לחול… שורש ריבועי של מספר ממשי a כלשהו הוא מספר אשר כאשר מכפילים אותו בעצמו מקבלים את a.
כלומר, שורש הוא פעולה הפוכה מחזקה.

הפעולה החישובית של מציאת השורש הריבועי נקראת "הוצאת שורש ריבועי".

"סתם" שורש הוא שורש ריבועי ,
וזהו הסימון המתמטי לשורש:



בסתם שורש= שורש ריבועי אין צורך לכתוב את הספרה 2 כ-n
בהוצאת שורש "שלישי" וכדומה יש לסמן את מספר הפעמים שבו המספר a מוכפל. אך אכמ"ל…)

"וזה כי כאשר תרבע את המספר הזה עד שהוא שלם"

(כלומר, כאשר נרצה לבנות ממספר זה - a "ריבוע" שהגדרתו הגיאומטרית היא מצולע בעל 4 צלעות שוות בדיוק, ושטחו שווה ל A*B כלומר, אורך כפול רוחב או בקצרה - אורך/רוחב בריבוע…

כאשר מוציאים שורש ריבועי למספר 100 התוצאה היא 10
שהרי אם נכפיל 10 "בעצמו" התוצאה תהא 100.



ניתן להמחיש זאת לריבוע גדול מחולק ל 100 ריבועים קטנים וצלע אורכו /רוחבו שווה ל 10.
המספר 10 הוא מספר "שלם" כי הוא מידת האורך לחוד וגם של הרוחב יחדיו לחוד - באופן מדויק.)

"כי מספר המרובע הוא שלם, שהרי ארכו כרחבו. ואם אינו מרובע אינו שלם, שהרי חסר מן הרוחב או מן האורך. וכאשר תרבע אותו להשלימו - הרי צלעותיו עשרה שלימות, והם סכום מספר".

(הדגש של רבינו ז"ל ששורש של מספר 100 הוא עשרה "שלימות" כלומר ללא שארית.
קרי ללא נקודה עשרונית = ללא מספרים נוספים מימין הנקודה העשרונית)

"אבל כאשר תרבע מספר עשרה, אין צלעותיו שלימות, רק אמות שבורות".

(דהיינו, אם נוציא שורש ריבועי למספר 10, התוצאה תהא 3.16227766



וזה אינו מספר שלם, כי יש בו שברי מספר כלומר מימין הנקודה העשרונית.)

"וכן אלף, אין צלעותיו שלימות, רק אמות שבורות."

(דהיינו אם נוציא שורש ריבועי למספר 1000 התוצאה תהא 31.6227766



גם כאן המספר הוא לא שלם וכנ"ל)

"לכן מספר מאה הוא מתדמה אל הכל, שהיה קודם ממזרח עד מערב שהוא הכל, ואינו חלק, כאשר ראוי לצלם אלקי, כי החלק הוא לדבר גשמי. ולכך היה קודם שחטא ממזרח עד מערב ומן הארץ עד הרקיע, שהוא היה הכל. וכאשר מיעטו היה נשאר בו ענין אלקי מה, ולא הוסר מכל וכל, ולכך העמידו על מספר שלם, שלא תמצא בו חלק. וכל מספר בעולם יש בו חלק - כאשר אתה רוצה להשלים אותו שיהיה שלם - תמצא שיש בו חלק, ואין ראוי לדבר אלקי חלק. אבל מספר מאה כאשר אתה משלימו - לא תמצא בו חלק, וזה ראוי לצלם אלקי במה שהוא אלקי, שאין בו חלק.
ואף על גב שמספר רבבה כאשר תרבע אותו יהיה צלעותיו מאה".

(כלומר, אם נוציא שורש ריבועי למספר 10000 התוצאה תהא 100



ואם כן, שואל המהר"ל מה מיוחד המספר 100 ובמה הוא שונה ממספר רבבה - 10000?

ועל כך ממשיך ומסביר המהר"ל…)

"כבר התבאר שאין רבבה נחשב בכלל מספר, ששם רבבה יקרא על שם רבוי, כדלעיל".

(תירוץ א של המהר"ל:
בלשון התורה סכומי מספרים הם תמיד עד המספר 1000 ולא יותר, ואע"פ שהמונח "רבבה" מוזכר בתורה, מסביר המהר"ל שרבבה זה כינוי בלבד לריבוי, ואינו מספר "עצמי".

זו הסיבה שהתורה מונה את מספר בני ישראל 600000 כ - "שש מאות אלף" ולא שישים ריבוא.

כי שם רבבה אינו מספר…
ועיין עוד בדברי רבינו ז"ל בספרו גבורות השם פ"ג)

"ואפילו אם היה מספר, אין זה דומה למאה, כי אצל מספר הרבבה, רחוק הוא מספר מאה, שהיא צלע מספר המרובע, מן מספר הרבבה, ומספר אלף הוא ביניהם, ודבר זה גם כן חסר נקרא. ולא כן מספר מאה, שהצלע המרובע הוא מספר י' - קרוב לו, לכך כאשר אתה משלימו הוא שלם לגמרי". עכ"ל

(תירוץ ב' של המהר"ל:
שאפילו אם נאמר שמספר של 10000 הוא נחשב מספר, עדיין יש יתרון מובהק למספר 100 על פני המספר 10000.
משום שבין תוצאת הוצאת שורש למספר 100 למספר 100 עצמו אין "חציצה" של מספר אחר, וזה מורה יותר על שלמותו של מספר זה.
משא"כ בין תוצאת הוצאת שורש למספר 10000 למספר 10000 עצמו קיימת "חציצה" של מספר אחר שהוא 1000. וזה מורה על "חוסר שלמות" במספר זה"....)

זו הסיבה שהקב"ה מיעט את קומת אדם הראשון ל 100 אמות דווקא…

איזה פירוש נפלא ועמוק ממאורו של רבינו המהר"ל מפראג זצ"ל!

וואו!

כעת, בואו ותראו איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…

אם נשאל את עצמנו, האם ניתן להמחיש את כל החשבונות הנ"ל (שנתבארו בדברי המהר"ל מפראג) בעזרת פונקציות האקסל/שיטס?

נו…מה התשובה? תגידו אתם…

בטח ובטח! כן!

אז בואו נראה יחד כיצד זה מתבצע בפועל/בשטח…

לפניכם צילום מסך מתוך הגיליון שיטס המצורף בלינק להלן:



אני אסביר…

בעמודה A מצורפים המספרים שנידונו לעיל והם: 10.100.1000.10000

בעמודה B מתבצעת פעולה של הוצאת שורש ריבועי למספר שהוזן בעמודה A.

מי שאחראית לפעולה זו היא פונקציית sqrt (הסברתי בהרחבה אודות פונקציה זו במאמר כאן)

זו דוגמא למבנה הפונקציה בתא B2


כל התוצאות מוצגות כסדרן בעמודה B באופן מדויק.

כעת אנו מעוניינים לברר האם התוצאות בעמודה B הן תוצאות של מספר "שלם" ללא חלקי שארית/שבר או לא…

פתרון 1:

בעזרת פונקציית mod

פונקציה זו הוזכרה מספר פעמים במאמריי הקודמים…

ובקצרה- מהותה של פונקציה זו להחזיר את השארית בלבד מפעולת חילוק.

כאשר התוצאה 0 זה אומר לנו שאין שארית בפעולת חילוק זו.

זהו מבנה הפונקציה בתא D2:


אנו מחלקים את תוצאת שורש הריבועי של המספר 10 ( 3.16227766) ב 1

והרי כל מספר שמתחלק ב 1 התוצאה היא המספר בעצמו…תחשבו על זה…

ולאחר מכן בודקים האם השארית היא 0 או לא…

במקרה של המספר 10 ישנה שארית (בתוצאת השורש) ולכן ההחזר הוא false!!!

לעומת זאת, בתא D3 ההחזר הוא true כי כאמור לעיל מספר 100 הוא מספר שלם!

בתא D5 ההחזר הוא גם כן true אך אין מכך שום הוכחה כי כאמור לעיל בדברי המהר"ל "כבר התבאר שאין רבבה נחשב בכלל מספר, ששם רבבה יקרא על שם רבוי וכו'..."

פתרון 2:

תכירו, זו פונקציית int באקסל/שיטס.

מהותה ותפקידה של פונקציה זו היא להחזיר מספר שלם ללא שארית כלל, בכך שהיא מעגלת את המספר למטה למספר השלם הקרוב ביותר מלמטה.
לפונקציה זו ארגומנט חובה בודד - number

בצילום מסך הנ"ל, זהו מבנה הפונקציה בתא F2:


פונקציית int מחזירה את המספר 3 כלפי תא B2

כזכור, ההחזר הוא ללא שארית!

וכעת אנו בודקים (בעזרת סימון =) האם ההחזר של פונקציית int אכן זהה לערך שכתוב בתא B2.
והתוצאה היא - false!

לעומת זאת, התוצאה בתא F3 היא true.
המספר מאה הוא מספר שלם כפי שביאר המהר"ל מפראג.

וגם כאן, למרות שבתא F5 ההחזר הוא גם כן true -אין מכך שום הוכחה, כי כאמור לעיל בדברי המהר"ל "כבר התבאר שאין רבבה נחשב בכלל מספר, ששם רבבה יקרא על שם רבוי וכו'..."

פתרון 3:

תכירו, זו פונקציית trunc…

מהותה ותפקידה של פונקציה זו להחזיר מספר שלם ללא שארית כלל (כאשר הערך בארגומנט השני הוא 0 או הארגומנט מושמט לגמרי - יש להדגיש!!!)
שיטת פעולתה של הפונקציה היא פשוט חיתוך המספר (שהוזן כהפניה בארגומנט הראשון) על פי "המידות" שהוזנו בארגומנט השני.(ארגומנט זה אינו חובה והוא "אופציונלי" בלבד)

ממש כמו נַגָּר שחותך קרש על פי המידות אורך שהוזמנו על ידי הלקוח…

זהו בדיוק ההבדל המהותי בין פונקציית int לפונקציית trunc!

בכדי להמחיש את הדברים אצרף כאן צילום מסך מתוך גיליון נספח (גם הוא מצורף בלינק להלן)



אני אסביר:

בתא E2 מוחזר על ידי פונקציית trunc הערך 3, כי לא הוזן ארגומנט שני וזה רק אומר לפונקציה שיש להחזיר 0 ספרות בכל הקשור לספרות מימין לנקודה העשרונית.
הפונקציה פשוט חותכת ומנתקת את המספר 3 מהנקודה העשרונית (וכל הספרות מימין לנקודה ).

גם בתא E3 מוחזר על ידי פונקציית trunc הערך 3, והסיבה לכך כי בארגומנט השני נכתב 0.

למעשה, אין שום נפקא מינה בין לכתוב 0 בארגומנט השני ובין לא לכתוב כלום…המשמעות היא אחת!

בתא E4 מוחזר 3.3, והסיבה לכך היא - משום שנכתב 1 בארגומנט השני של הפונקציה ולכן חיתוך המספר בעמודה A מסומן לאחר ספרה אחת מימין לנקודה העשרונית…

ואידך זיל גמור…

ההבדל המהותי בין פונקציית int לפונקציית trunc בא לידי ביטוי במיוחד בתא E10 (ומטה).
הערך בתא A10 הוא 1.555 -

פונקציית int בתא C10 מחזירה את המספר 2 -

ומדוע?

כי פונקציה זו מחזירה מספר שלם (בלבד, כלומר ללא כל ספרות מימין לנקודה העשרונית) הקרוב ביותר מלמטה.

הרבה פעמים ממשילים (בלימודי המתמטיקה) את (מערכת) המספרים ("השלמים/רציונליים") כבניין רב קומות הכולל קומת כניסה (שמסומנת כ-0) וקומות לכיוון מעלה (שמשולים למספר החיובים "מעל" האפס) ומטה (המשולים למספרים השלילים "מתחת" האפס)

על פי משל זה המספר 1.555 נמצא (היכן שהוא) בין קומת 1- לבין קומת 2-

העיגול "למטה" משמעותו - להמשיך לרדת במדרגות (בין קומה לקומה) עד למפגש עם הקומה הבאה.

לקומה הזו קוראים (במקרה הזה) 2-
לעומת זאת, בתא E10 פונקציית trunc מחזירה את המספר 1-
ומדוע?

כיוון שלא בוצע שום "עיגול" כלפי מטה, ופונקציה זו פשוט חותכת את המספר ומחזירה את המספר משמאל לנקודה העשרונית בלבד.

בתאים E12/E13 מקום "החיתוך" זז יותר ימינה בהתאם לספרה שנכתבה בארגומנט השני.

ולאחר כל הקדמה זו, תראו שוב את הצילום מסך שצירפתי לעיל:



זהו מבנה הנוסחה בתא H2:


פונקציית trunc מחזירה את הספרה 3 כלפי תא B2 (כיוון שאין כאן ארגומנט שני וכמו שהסברתי לעיל…)

וגם בפתרון זה אנו בודקים (בעזרת סימון =) האם ההחזר של פונקציית trunc אכן זהה לערך שכתוב בתא B2.
והתוצאה היא - false!

לעומת זאת, התוצאה בתא H3 היא true.

המספר מאה הוא מספר שלם כפי שביאר המהר"ל מפראג.
וכן…גם כאן, למרות שבתא H5 ההחזר הוא גם כן true -אין מכך שום הוכחה, כי כאמור לעיל בדברי המהר"ל "כבר התבאר שאין רבבה נחשב בכלל מספר, ששם רבבה יקרא על שם רבוי וכו'..."

ועד כאן לאקסל/שיטס ולעולמן של הפונקציות…

מקווה שהכל מובן, ומקווה שנהניתם במסע הנפלא לאורכו של מאמר זה…

כמה מילים לסיום…
בפתיחת המאמר הזכרתי את דברי התלמוד - "וָאוֹלֵךְ אֶתְכֶם קוֹמְמִיּוּת, רַבִּי מֵאִיר אוֹמֵר, מָאתַיִם אַמָּה, כִּשְׁתֵּי קוֹמוֹת שֶׁל אָדָם הָרִאשׁוֹן"
"השפת אמת" זצ"ל (בספרו על התורה -פרשת בחוקותי תרל"ו) מסביר את עניין ומהות "שתי הקומות" שעליהן הבטיחה התורה "ואולך אתכם קוממיות".
וזהו לשונו הזך:
"ואולך אתכם קוממיות ב' קומות. פירוש כי ציור האדם הוא רק לבוש לאור נשמת חיים אשר בקרבו.
וזה דיש ב' קומות אשר אחר תיקון כל הקומה מראשו ועד רגלו אז זוכה לקומה עליונה החופפת עליו בשלימות תיקון קומת הגוף.
וכלל הדברים דאיתא קוב"ה ואורייתא וישראל כולא חד. ואיתא כי אית באורייתא סתים וגליא כמו שמא דקוב"ה סתים וגליא כו'. וכמו כן נפש איש ישראל אית ביה סתים וגליא וע"י תיקונו הנגלה זוכה להפנימיות שהוא חיות הנסתר באדם. וזה קוממיות, והבן כל זה".

הבטחה זו של התורה תלויה ומותנית בפסוק בריש פרשתא "אם בחוקותי תלכו" וכמו שפירש רש"י הקדוש "שתהיו עמלים בתורה".

התורה הקדושה - מתקנת ומזככת את שתי הקומות של האדם הן בגוף החיצוני והן "בחיות הנסתר שבאדם" כלומר קומתו הפנימית - כנגד נשמתו של האדם.

התנא הקדוש - אונקלוס הגר שדבק ונתעלה בתורה. הוא, הוא פירש (בתרגומו על הפסוק ואולך אתכם קוממיות) "וְדַבַּרִית יָתְכוֹן בְּחֵירוּתָא"

והן הן הדברים…

"שאין לך בן חורין אלא מי שעוסק בתלמוד תורה"
(משנה מסכת אבות ו.ב)

לינק לגיליון שיטס הכולל המחשה לדברי המהר"ל מפראג אודות המספר 100 וכן הסבר ודוגמא אודות פונקציות int & trunc -מצורף כאן.