הנושאים החמיםתמונת מקור - Leonardo AI
בּמאמר זה אעסוק בעולמם של השברים באספקט המתמטי ובמקורות התורניים.
ותחילה, מהו שבר?
שבר הוא מספר, המוצג כחילוק של מספר שלם אחד במספר שלם שני (שאיננו 0).
כתיבת השבר היא:
כאשר m/n הם מספרים שלמים, ו-n איננו 0.
שברי יחידה:
הם שברים מן הסוג ½ או ⅓ או ¼ וכדומה…
או באופן כללי ניתן להגדירם כשברים בהם המונה שווה ל 1, והמכנה הוא כל מספר שלם.(חוץ מ 0 כאמור…)
במקורות היהודיים אנו מוצאים לשון:
חצי/ מחצית (שמות י"ב. כ"ט ועוד רבות).
שליש (במדבר ט"ו. ה).
רבע (יחזקאל מ"ח. כ).
חמישית/ חומש/ חומשא (בראשית מ"ז. כ"ד ועוד רבות).
שישית / שתות (משנה ב"מ ד.ג ועוד).
שביעית (כינוי לשנת השמיטה).
שמינית (בבלי מסכת סוטה ה ע"א).
תשיעית (תוספתא דמאי ח, י"ז).
עשירית (שמות ט"ז. ל"ו).
שברים פשוטים:
הם שברים רגילים כמו 7/13 או 37/49 וכדומה…
שברים משלימים:
שבר כמו ⅔ מאופיין בכך שערך המונה הוא 1 פחות מערך המכנה.
ניתן לכתוב שבר כזה כ-
אם נשלים שבר זה ב 1 חלקי n התוצאה תהא - 1
זו הסיבה ששברים אלו נקראים שברים "משלימים"...
מעניין מאוד שרבותינו ז"ל נקטו בכמה דוגמאות בש"ס בלשונות שברים כאלו, כלומר שנקטו את המספר השלם הקרוב ביותר שממנו יש להפחית את החלק שהוא עודף על הערך הנידון.
דוגמא א:
"מכדי כל אמתא בריבוע אמתא ותרי חומשי באלכסונא בשיבסר נכי חומשא סגיא" (תלמוד בבלי מסכת עירובין דף ע"ו ע"ב ועוד)
כאן, במקום לומר ⅘ 16 אמרו רבותינו ז"ל "שיבסר נכי חומשא" כלומר 17 פחות חומש (חמישית).
דוגמא ב:
"ואלא שליש דירושלמית שליש דידה כמה הוי חמשין ותמניא נכי תילתא" (תלמוד בבלי מסכת עירובין דף פ"ג ע"א)
כאן, במקום לומר ⅔ 57 אמרו רבותינו ז"ל "חמשין ותמניא נכי תילתא" כלומר 58 פחות שליש.
דוגמא ג:
"אמר ליה רב חנילאי מחוזנאה לרב אשי מכדי כמה מרובע יתר על העגול רביע הני תמני מאה שית מאה ושיתין ושבע נכי תילתא הוי" (מסכת עירובין דף נ"ז ע"א)
כאן, במקום לומר ⅔ 666 אמרו רבותינו "שית מאה ושיתין ושבע נכי תילתא" כלומר 667 פחות שליש.
מהי הסיבה לכך?
הלא דבר הוא?
הרב (פרופסור) שמעון בולג בספרו "ברכות בחשבון" (ח"א עמוד קמ"ח) מטעים את הסיבה לכך על פי "דרך הפשט" וזה לשונו:
"היות והשימוש בשברים פשוטים מביא לעיתים קרובות לצורך של פעולות כפל וחילוק מורכבות (כשהיה צורך לחשבן לרוב ללא כל עזר מיכני או במחשבון…) העדיפו חז"ל להשתמש בשברי יחידה, בסכומים של שברי יחידה, או בשברים משלימים…"
בהערותיו הוא ציין את אחד מהלוחות הקדומים שנמצאו ליד העיר Luxor שבמצרים - קלף הידוע בשם Rhind Mathematical Papyrus (פפירוס רינד - ניתן לקרוא על כך בלינק כאן בהרחבה).
צורות חישוב אלו נוחות ונועדו להקל על החישוב,
דוגמא נפלאה לכך היא בדברי רבותינו ז"ל אודות שיעורה של "רביעית הלוג" האמורים בתלמוד בבלי (מסכת פסחים דף ק"ט ע"א)
וכך אמרו שם:
"אמר רב חסדא רביעית של תורה...ברום אצבעים וחצי אצבע וחומש אצבע".
במקום לומר 7/10 2 אמר רב חסדא בלשון זה של 2 וחצי אצבעות ועוד חומש אצבע.
נפלא מאוד!
שבר עשרוני הוא שיטה לרישום מספרים ממשיים.
המספר חצי למשל מוצג בצורה 0.5 כשבר עשרוני.
הנקודה המפרידה בין שני חלקיו של שבר הרשום בצורה כזו קרויה נקודה עשרונית.
כאשר משמאל לה נרשם חלקו השלם של המספר, ומימין לה נרשם חלק השבר של המספר.
את השימוש הנרחב בנקודה העשרונית מקובל לייחס למתמטיקאי הסקוטי Napier John (ג'ון נפייר) בתחילת המאה ה 17
הוא היה הראשון שציין "כי מה שמופיע אחרי הנקודה הוא שבר" .
כעת בואו ותראו איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…
לפניכם צילום מסך (מתוך הגיליון המצורף להלן בלינק).
כאשר מבצעים באקסל או בשיטס פעולת חילוק (מונה במכנה), מתקבלת תוצאה בתצוגה של שבר עשרוני.
זו ברירת המחדל באקסל/בשיטס!
כיום, בעידן המודרני תצוגה זו היא הפופולרית והשימושית ביותר בעולם החשבונאות ואף בחיי היום יום…
בעמודה D תוכלו לראות זאת באופן מוחשי וויזואלי.
נשאלת השאלה, כיצד ניתן להמיר את תצוגת השברים בתאי האקסל/שיטס מתצוגת שבר עשרוני לתצוגת שבר רגיל/פשוט?( כלומר m/n)
למי שיודע ולמי שלא…במחשבון מדעי ישנו כפתור/לחצן המיועד לכך S-D
בכפתור זה ניתן להמיר את התצוגה על צג המחשבון משבר פשוט לשבר עשרוני וכן להיפך.
ובאקסל/שיטס?
פתרון 1:
בגיליון אקסל:
יש לסמן את התא / טווח התאים > בכרטיסיית "בית" יש לבחור בעיצוב תאים (שבר, לווריאציות נוספות יש לסמן) תבניות מספר נוספות > שבר > לבחור "סוג" (על מגוון הסוגים ניתן לקרוא בלינק כאן) > ללחוץ על אישור.
בגיליון גוגל שיטס:
יש לסמן את התא / טווח התאים > יש ללחוץ בסרגל כלים על "123" > תבנית מותאמת אישית של מספרים > לכתוב ?/? או ??/?? > ללחוץ על החל(ה).
בתמונה הנ"ל תוכלו לראות את התוצאות בעמודה E (הכינותי מראש כמובן…)
פתרון 2:
ניתן לבצע המרה לשבר העשרוני בעזרת פונקציית text
כאשר בארגומנט השני אנו מזינים את הפורמט הרצוי
זהו מבנה הפונקציה בתא F2 למשל:
קוד:
=TEXT(D2,"#?/?")כזכור, ניתן לשנות את הפורמט ל ??/?? #
פתרון 3:
ניתן לבצע המרה לשבר העשרוני בעזרת פונקציית query
זהו מבנה הפונקציה בתא G2 למשל:
קוד:
=QUERY(D2:D11,"SELECT D FORMAT D '# ?/?'", 0)פונקציית query היא פונקציה מורכבת, גאונית ורבת עוצמה…
לא אוכל במסגרת מאמר זה להסביר את כל מהותה ואת הפתרון כאן בעזרתה, זו תוספת בלבד במאמר מוסגר…
(בל"נ בעתיד אולי אכתוב בהרחבה אודות פונקציה זו והשימושים על ידה.)
לעיל - הזכרתי מספר דוגמאות במשנתם של רבותינו ז"ל בכל הקשור לשברים "משלימים".
וכן…גם בכל דוגמאות אלו ניתן לבצע המרה מתצוגת שבר עשרוני לתצוגת שבר רגיל…
כל זאת בעזרת 3 הפתרונות שהצגתי לעיל.
תוכלו לראות זאת באופן מוחשי בצילום מסך הבא (מתוך הגיליון המצורף להלן בלינק)
ועד כאן לאקסל!
מקווה שנהניתם מכל הטוב הנ"ל…
זה פשוט נפלא מאוד ולא פחות מכך - כל כך פרקטי…
לסיום, אפרופו לשונות רבותינו ז"ל בתלמוד בכל הקשור לשברים "משלימים" - אחתום את המאמר בדוגמא קטנה שבה התורה הקדושה ציינה (לכאורה) מספר שלם שקרוב אל המספר הנכון. (כלומר 40 במקום 39)
הסיבה לכך עמוקה ונפלאה עד למאוד והיא יוצאת מבית מדרשו של מאור עינינו רבינו המהר"ל מפראג זצ"ל…
סקרנים לשמוע?
קדימה, יצאנו לדרך…
נאמר בתורתנו הקדושה (דברים כ"ה. ב-ג) "וְהָיָה אִם בִּן הַכּוֹת הָרָשָׁע וְהִפִּילוֹ הַשֹּׁפֵט וְהִכָּהוּ לְפָנָיו כְּדֵי רִשְׁעָתוֹ בְּמִסְפָּר.
אַרְבָּעִים יַכֶּנּוּ לֹא יֹסִיף פֶּן יֹסִיף לְהַכֹּתוֹ עַל אֵלֶּה מַכָּה רַבָּה וְנִקְלָה אָחִיךָ לְעֵינֶיךָ."
וכך אומרת המשנה: (מסכת מכות ג.י)
כַּמָּה מַלְקִין אוֹתוֹ? אַרְבָּעִים חָסֵר אַחַת, שֶׁנֶּאֱמַר בְּמִסְפַּר אַרְבָּעִים, מִנְיָן שֶׁהוּא סָמוּךְ לְאַרְבָּעִים. (נ"א מִנְיָן שֶׁהוּא סוֹכֵם אֶת הָאַרְבָּעִים)
רַבִּי יְהוּדָה אוֹמֵר: אַרְבָּעִים שְׁלֵמוֹת הוּא לוֹקֶה"
וכידוע, ההלכה נפסקה כתנא קמא ולא כרבי יהודה.
ובתלמוד (בבלי מסכת מכות דף כ"ב ע"ב) איתא:
"מַאי טַעְמָא? אִי כְּתִיב אַרְבָּעִים בְּמִסְפָּר הֲוָה אָמֵינָא אַרְבָּעִים בְּמִנְיָינָא, הַשְׁתָּא דִּכְתִיב בְּמִסְפַּר אַרְבָּעִים מִנְיָן שֶׁהוּא סוֹכֵם אֶת הָאַרְבָּעִים.
אָמַר רָבָא, כַּמָּה טַפְשָׁאֵי שְׁאָר אִינָשֵׁי, דְּקָיְימִי מִקַּמֵּי סֵפֶר תּוֹרָה, וְלָא קָיְימִי מִקַּמֵּי גַּבְרָא רַבָּה, דְּאִילּוּ בְּסֵפֶר תּוֹרָה כְּתִיב אַרְבָּעִים, וַאֲתוֹ רַבָּנַן בְּצַרוּ חֲדָא."
ועיין בפירוש רש"י ז"ל על התורה שהסביר ילפותא זו של חז"ל מעצם הניקוד באות בית, וזהו לשונו:
"בְּמִסְפָּר- וְאֵינוֹ נָקוּד בַּמִּסְפָּר לִמֵּד שֶׁהוּא דָּבוּק, לוֹמַר בְּמִסְפַּר אַרְבָּעִים וְלֹא אַרְבָּעִים שְׁלֵמִים, אֶלָּא מִנְיָן שֶהוּא סוֹכֵם וּמַשְׁלִים לְאַרְבָּעִים, וְהֵם אַרְבָּעִים חָסֵר אַחַת"
המהר"ל מפראג בספרו גור אריה על התורה (דברים כ"ה .ב) שואל שאלה נפלאה ויסודית
"ואם תאמר, למה כתב ארבעים ולא כתב שלושים ותשע יכנו"?
כלומר, (אליבא דתנא קמא וכך ההלכה) אם התורה רצתה לקבוע כי יהיו רק שלושים ותשע מכות, מדוע לא כתבה בפשטות "שלושים ותשע יכנו"?
מה התורה הקדושה באה ללמדנו?
המהר"ל מביא 2 ביאורים לכך, והמשך מבאר הוא את הדברים.
"אמנם נראה, כי בודאי היה ראוי ללקות ארבעים כנגד ארבעים יום של יצירת הולד, וביום האחרון - הוא יום ארבעים - מקבל הולד הנשמה"
כלומר שמספר 40 שנקטה בו התורה הוא מסמל משמעות פנימית ועמוקה.
אנו מוצאים מספר זה בענישה האלוקית כנגד דור המבול, כמו שנאמר בפסוק (בראשית ז.ד)
"אנוכי ממטיר על הארץ ארבעים יום וארבעים לילה ומחיתי את כל היקום אשר עשיתי מעל פני האדמה…
ושם מבאר רש"י ז"ל "ארבעים יום. כנגד יצירת הולד וכו'"
חז"ל אומרים (עיין בתלמוד בבלי מנחות צ"ט ע"ב וכן בבכורות כ"א ע"ב) שנשמת האדם ניתנת ביום 40 לעובר, בכל 39 יום הראשונים העובר משתלם ומתפתח באבריו , ביום הארבעים יש בעובר כבר גדר של "צורת אדם",(יש לכך השלכות הילכתיות רבות, ניתן לקרוא במאמר כאן על כך ועל האספקט הרפואי - אמבריולוגי בנושא זה)
"ובכל ל"ט הוא בריאת הגוף. ובגוף הוא החטא, שבו היצר הרע, והנשמה חטאה עמו, שכל המחובר לטמא הרי הוא כמוהו בעודה עם הגוף"
כלומר, מי שחטא הוא כמובן הגוף ולא הנשמה. עם זאת, היה מן הדין להלקות ארבעים מכות, שכן הנשמה נגררת אחר הגוף, ומשחטא הגוף נפגמה אף הנשמה והייתה טעונה תיקון.
כך מצינו בדברי הרמח"ל בספרו "דרך ה" (חלק א' פרק ג)
"גזרה החכמה העליונה שיהיה האדם מורכב משני הפכים, דהיינו מנשמה שכלית וזכה, ומגוף ארצי ועכור, שכל אחד מהם יטה בטבע לצדו, דהיינו הגוף לחומריות והנשמה לשכליות, ותמצא ביניהם מלחמה, באופן שאם תגבר הנשמה, תתעלה היא ותעלה הגוף עמה, ויהיה אותו האדם המשתלם בשלמות המעותדת. ואם יניח האדם שינצח בו החומר, הנה ישפל הגוף ותשפל נשמתו עמו".
כלומר, כאשר החומר גובר על הרוח - גם הרוח נעכרת.
וממשיך המהר"ל…
"ולפיכך אמרה תורה ארבעים יכנו, שאף הנשמה שעם הגוף חייב המלקות, שכל אשר הנשמה עם הגוף שהוא החוטא הרי היא כמוהו, כדלעיל"
כלומר, ש 40 מלקות שציוותה עליו התורה לאדם שחטא בלא תעשה (עם עדים והתראה) אינן ישות ומהות אחת, אלא 39 כנגד הגוף והמכה ה40 כנגד הנשמה שגם "חטאה" עם הגוף.
אבל רגע, אם כך מדוע הלכה למעשה האדם החוטא לא מקבל את מכת הארבעים?
"אכן כשמכין אותו ל"ט מכות, ובזה שב יצירת הגוף נקי מן החטא, שכן אמרו חכמים מסכת מכות דף כג)כל חייבי מלקות נפטרו מידי עונשן על ידי מלקות, והרי בל"ט מכות הוסר החטא מן הגוף, וממילא נמצא הנשמה טהורה. שאין בה פחיתות בעצמה, רק כאשר היא מצורפת לגוף החוטא, וכאשר הגוף נקי מן החטא, אין כאן פחיתות וחטא בנשמה, ואין צריך להלקותו עוד"
כלומר, שהתורה הקדושה כתבה "ארבעים יכנו" - דיברה תורה בלשון עתיד על תכלית הכוונה במלקויות, ואכן, כל עוד האדם החוטא לפנינו (לפני קבלת המלקות) - ראוי להענישו ב40 מלקויות דווקא, כי גם הנשמה שסייעה לגוף לחטא ונעכרה עמו ראויה להענישה (וכאמור לעיל ההלקאה ה 40 היא כנגד הנשמה…)
אך חז"ל דרשו מה שדרשו ואמרו במתניתין "כַּמָּה מַלְקִין אוֹתוֹ? אַרְבָּעִים חָסֵר אַחַת, שֶׁנֶּאֱמַר בְּמִסְפַּר אַרְבָּעִים, מִנְיָן שֶׁהוּא סָמוּךְ לְאַרְבָּעִים"
חז"ל דיברו על מה שנעשה בפועל, "בתכל'ס"...
"כמה מלקין אותו" הנאמר במשנה הוא כמה ס"ך ההלקאות הנעשה בפועל…
כי בפועל לאחר 39 מלקויות הגוף מתוקן מן עכירות החטא "וממילא נמצא הנשמה טהורה. שאין בה פחיתות בעצמה"
הנשמה בלבד שהיא "מבודדת" מן הגוף היא טהורה ללא פחיתות כלל וכלל…
איזה ביאור עמוק ונפלא ממאורו ובית מדרשו של רבינו המהר"ל מפראג…
הן התורה שבכתב והן דברי רבותינו ז"ל בתורה שבעל פה -דברי אמת צדקו יחדיו…
כולן נאמרו למשה רבינו ע"ה בסיני!
וכלשונו של המהר"ל מפראג בספרו "באר הגולה" (בסיום הבאר הראשון, שם ביאר את הסוגיה של "ארבעים יכנו" כעין לשונו בספרו "גור אריה", עיין שם)
"ואלו הם דרכי חכמה וסודי התורה שהם עמוקים מני ים.
וכאשר התבאר לך דברים אלו אז תשתה בצמא את כל דבריהם האסור והמותר הפסול והכשר הטמא וטהור יחדיו,
ואין דבריהם תוספת וגרעון ח"ו על תורת משה, רק הם מצטרפים ומתחברים עם תורת משה, והם עטרת תפארת לראשה מגלים טוב טעמה ופירושה…"
לינק לגיליון שיטס הכולל מקורות תורניים לשברים והפתרונות להמרת שבר עשרוני לשבר רגיל - מצורף כאן.
- Next article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 42 ▪︎ תכירו את פונקציות INT & TRUNC באקסל/גוגל שיטס ▪︎ ואיך זה קשור לרזי ומסתורי המספר 100 ביהדות? ▪︎ "וַתָּשֶׁת עָלַי כַּפֶּכָה"
- Previous article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 40 ▪︎ כך תערכו בדיקה באקסל/גוגל שיטס האם מחרוזת טקסט היא פלינדרומית או לא ▪︎ "וְנָתְנוּ אִישׁ כֹּפֶר נַפְשׁוֹ לַה' בִּפְקֹד אֹתָם"
