אקסלומדע'ס פרק 87 ▪︎ הנה כמה מילים על המונח המתמטי "יחס בעל אמצעי ושתי קצוות" ופתרונו במתמטיקה ובאקסל / גוגל שיטס ▪︎ יחס הזהב - מאמר המשך

תמונת מקור - Leonardo AI

רבי יוסף אַלְבּוֹ ז"ל בספרו המונומנטלי "ספר העיקרים" (מאמר שלישי פרק ג') הביא את דעת הפילוסופים אודות שלמות האדם ותכליתו וזהו לשונו:

"והנה השלמות והתכלית הזה לפי מה שהסכימו הפילוסופים הוא - השגת המושכלות.

ואמרו כי השכל ההוא הנקנה באמצעותם הוא הנשאר אחר המוות, וזה כשיתעצם השכל והמשכיל והמושכל וישוב דבר אחד בעינו עם המושכלות שהם בשכל הפועל, ואמרו שזה הוא תכליתו האחרון והצלחתו הנפשית,

ואמרו גם כן, שאם לא על דרך זה לא יצויר שום הישארות לנפש ויהיה מציאות מין האדם לבטלה, ולא יהיה אם כן יתרון למין האדם על הבעל חי, ויבטל השלמות לאדם…"

ורבינו ז"ל דוחה ושולל מכל וכל את דעת הפילוסופים בכמה טענות לוגיות.

"ונאמר כי כשיעויין הדעת הזה נמצאהו בטל מעצמו ובלתי מסכים לדעת התורה האלקית, לפי שהם לא ימלטו בשום צד משיהיה מציאות האדם לבטלה ונפלו במה שברחו ממנו.

וזה כי התכלית הזה ,לא ימלט משיהיה אפשרי ההשגה או נמנע ההשגה, ואם הוא נמנע ההשגה יהיה מציאות מין האדם לבטלה ולא יהיה לו יתרון על מין החמור והחזיר, ואם הוא אפשר ההשגה הנה אין ספק שלא יושג זה לכלל האנשים ולא לרובם אלא לאדם אחד מאלף או ליחיד בדור, כאלו תאמר סוקראט ואפלטון ודומיהם, אבל שאר האנשים שלא השכילו כמותם ולא הגיעו למעלתם יהיו אצלם במדרגת החמור והחזיר, אחר שלא הגיעו לפי דעתם אל התכלית האנושי, ויהיה מציאות כולם לבטלה זולת האיש ההוא שהוא יחיד בדור, ואם ימצא דור אחד שלא יהיה בו איש שלם כסוקראט דרך משל, יהיה אז מציאות כל המין לבטלה בזמן ההוא,

והנה נפלו במה שברחו ממנו, כי יהיה לפי זה כל הפועל האלקי בזמן מה ורובו בכל הזמנים בלתי מגיע אל תכליתו ואי אפשר לו שישיגנו בשום פנים, וזה ממה שאין ראוי שיהיה מיוחס לשום פועל שלם אף כי לסיבת הסבות יתעלה מזה עילוי רב".

וממשיך רבינו ז"ל וטוען עוד.

"ועוד שאפילו לפי דבריהם המושכלות ההם שישכיל אותו חכם או היחיד בדור, אפשר שלא יגיעוהו אל תכליתו ושלמותו האנושי, כי ההשכלה ביסודות ובדברים הטבעיים אין זה ממה שייתן שלמות בנפש בעצם אף לפי דעת הפילוסופים, כל שכן ההשכלה בדברים הלימודיים, כי אי זה שלמות יגיע לנפש שהשכילה שזוויות המשולש שוות לב' ניצבות, ושהזווית היוצאת מהמשולש היא שווה לב' הזוויות הפנימיות המקבילות אליה, או שכאשר ידבק צלע המעושר עם צלע המשושה שהקו ההוא נחלק על יחס בעל אמצעי וב' קצוות.

כי כל אלו יתנו שלמות לנפש מצד שהן מבוא ודרך וסולם להשכיל הדברים השמימיים והסבות שהדברים הטבעיים נתלים בהם, ולא שהם יתנו שלמות לנפש מצד עצמם כלל. ולזה אי אפשר לה שתישאר נצחית מצד ההשכלה הזאת…"

עכ"ל ספר העיקרים.

המונח המתמטי - גיאומטרי שהזכירו ספר העיקרים "יחס בעל אמצעי וב' קצוות" הִנּוֹ מונח קשה ומורכב להבנה למי שאינו מורגל בו.

מקורו של המונח הוא ככל הנראה מהאַסְכּוֹלָה של המתמטיקאי, האסטרונום והפיזיקאי היווני אֵאוּדוֹקְסוֹס מִקְּנִידוֹס.

בשו"ת "חוות יאיר" (סימן קע"ד לרבי שמעון יאיר חיים בָּכָרָך ז"ל) רבינו ז"ל נושא ונותן בפירושו של מונח זה עם הרב המהנדס שכתב לו שאין עתו בידו "לבקש תחבולה למצוא החשבון במדויק". (להלן תגלו כי ערכו של x הוא מספר שאנו מכנים אותו "אי רציונלי" כלומר, בלתי גדור ואינו ניתן לכתיבה כמספר שלם או כשבר פשוט…)

כמו כן, עיין בפירוש "אהל יעקב" (על ספר העיקרים - שם) לרבי יעקב קופלמן ז"ל מה שביאר בזה ובמה שפירש בפירוש "שורשים" (מתוך ביאור "עץ שתול" לרבי גדליה ליפשיץ מלובלין ז"ל וביאור זה הודפס במהדורת ווילנא - שנת תר"ל) "בסגנון אחר".

ולאחר כל הני פירושי, צא ולמד מה שכתב באריכות בקונטרס "ברכות בחשבון" (פרק י"א והוא מתוך החיבור "מרכבת המשנה" על היד החזקה לרמב"ם לרבי שלמה אשכנזי רפפורט מחעלמא ז"ל) וביאר את דברי ספר העיקרים "שכאשר ידבק צלע המעושר עם צלע המשושה שהקו ההוא נחלק על יחס בעל אמצעי וב' קצוות" על דרך חכמת הגיאומטריה ולאחר כמה וכמה הקדמות וציורו הוא כזה:

(נ.ב ואני הקטן לא הבאתי במסגרת מאמר זה את כל לשונו ז"ל מהסיבה שיש בו חשבונות רבים ומורכבים שעל מנת להבינם כראוי יש להקדים הקדמות רבות בחכמת המצולעים והגיאומטריה. ולמי שירצה להעמיק ולעיין - הלא המה כתובים בלינק הנ"ל שציינתי. בהצלחה!)

והוסיף לכתוב בקונטרס ברכות בחשבון:

"ואחרי אשר בארתי לך הדבר במופת אשוב אתפלא על החוות יאיר שהכניס בסוג הנמנע את המחויב, דאע"פ שאי אפשר לצייר יחס בעל אמצעי ושתי קצוות בחכמת המספר שהם מספרים בלתי גדורים אבל שפיר יצוירו במספר האלגברה.

ונניח קו אחד ארכו עשרה נחלק על יחס בעל אמצעי ושתי קצוות. ויהיה החלק הגדול שרש נעלם וחלק הקטן עשרה פחות שרש נעלם וידוע שכפל הקצוות זה בזה דומה למרובע האמצעי.
נמצא כפל הקצוות מאה פחות יוד שורשים דומה למרובע האמצעי דהיינו מרובע הנעלם…" עכ"ל.

ננסח את המשוואה בניסוח מתמטי מודרני:

אנו אומרים כי שני החלקים האלו יקיימו את המשוואה הבאה:

במילים אחרות, אנו אומרים כי בין שני היחסים קיים שוויון. כלומר, קיימת "פרופורציה".

(על המונחים המתמטיים "יחס ופרופורציה" הסברתי באריכות רבה במאמר בלינק כאן).

וכעת, קָמָה וְגַם נִצָּבָה לה "שאלת השאלות" והיא - מהו ערכו המספרי של אותו משתנה x?

שאלה קשה…אכן!

אנו נפתור את המשוואה בניסוח המתמטיקה המודרנית שלב אחרי שלב:

הופ! זו כבר משוואה ריבועית / משוואה ממעלה שניה.

מזהים?

לפתרון המשוואה נשתמש בנוסחת השורשים.

(במאמר בלינק כאן הסברתי באריכות רבה על "משוואה ריבועית" ועל הדרך לפתרונה באמצעות "נוסחת השורשים". עיין שם).

ובכן, זו נוסחת השורשים:

יופי נהדר. פענוח התעלומה הושלם בהצלחה!

ישנם 2 פתרונות עבור ערכו של המשתנה x.

שימו לב, כי כל מהלך הפתרון הנ"ל עבור המשוואה של "יחס אמצעי ושתי קצוות" נעשה באמצעות נוסחת השורשים - אותה נוסחה היותר מוכרת ונפוצה (ויש שיוסיפו היותר "פשוטה ונוחה לחישוב) כיום בלימודי האלגברה.

אך למי שיעיין בהסברו של רבינו הרש"ח עצמו יגלה כי פתרון המשוואה נעשה באמצעות טכניקת "השלמה לריבוע".

ואע"פ ששיטה זו אינה כל כך פופולרית כיום (לפתרון משוואה ריבועית), כבר הוכחתי במאמר כאן איך שנוסחת השורשים יוצאת מתוך שיטת ההשלמה לריבוע. עיין שם.

כך או כך. מסקנת רבינו הרש"ח שישנם 2 פתרונות לאותו "שורש נעלם" (שאנו מכנים אותו x).

ובהמשך דבריו רבינו הרש"ח כותב (כלפי דוגמא דומה) טענה "חזקה" שאין עליה תשובה:

"וזה שקר, שהרי כל הקו ארכו רק עשרה והיאך יהיה הקטן יותר מכל הקו והגדול פחות מכלום (דהיינו פחות מאפס)???"

ומכאן שהפתרון היחיד "המתכתב" עם המציאות הגיאומטרית של "הקו" הוא -

סה טו!!!

אם נחזור שוב לאותו "שרטוט" של יחס בעל אמצעי ושתי קצוות -

שאלתינו הייתה - מהו ערכו של המשתנה x?

ובמילים אחרות. היכן צריך לחלק את אותו קו (שאורכו 10) כך שיחס האורכים שבין הקטע השלם לבין הקטע השני בגודלו יהיה שווה ליחס האורכים שבין הקטע השני בגודלו לבין הקטע הקצר?

והתשובה במסקנת החשבון היא שיש לחלק את הקטע (שאורכו 10) בדיוק בנקודה שאורכה מתחילת הקו = 6.18 (בקירוב).

אתם תיכף תגלו את ההפתעה הגדולה והקסם המיוחד במשוואה הזו…

מוכנים?

תגידו, המספר הזה מוכר לכם מהיכן שהוא?

נכון מאוד!

זהו יחס הזהב / חיתוך הזהב!

זהו אותו מספר "אי רציונלי" המסומן באות היוונית פִי.

זהו אותו מספר הנובע מחלוקת המספרים בסדרת "פיבונאצ'י" הנפלאה!

זהו אותו מספר היוצר את "זווית הזהב" (137.5 מעלות) לאחר חלוקתו ב 360 מעלות של המעגל - אותה זווית המתבטאת באינספור דוגמאות בעולם החומרי שהקב"ה ברא ומעידה שיש בורא לעולם!

(על כל הנ"ל ועוד הסברתי באריכות רבה במאמר בלינק כאן - עיין שם).

והנה נוסף לארסנל תאריו של המספר 1.618033989 (בקירוב) עוד "תואר אחד של כבוד" בשם - "יחס בעל אמצעי ושתי קצוות".

זה פשוט נפלא ומרתק!

פשוט וואו!

על מנת לפתור באקסל / גוגל שיטס את המשוואה הריבועית היוצאת מתוך הביטוי המתמטי של "יחס בעל אמצעי ושתי קצוות" -

תחילה נזהה את המקדמים ונכתוב אותם בתאי האקסל / שיטס.

את מקדם a נכתוב בתא B17 ובמקרה שלנו ערכו הוא 1

את מקדם b נכתוב בתא C17 ובמקרה שלנו ערכו הוא 10

את מקדם c נכתוב בתא D17 ובמקרה שלנו ערכו הוא 100-

בתאים C19 & C20 מתבצע חישוב אוטומטי עבור שני הפתרונות (ברמה התיאורטית) לערכו של x:

זהו מבנה הפונקציות בתא C19 עבור פתרון x1:

קוד:

=(-C17+SQRT(POWER(C17,2)-4*B17*D17))/2*B17

ובמקרה שלנו, התוצאה היא: 6.180339887 (בקירוב)

וזהו מבנה הפונקציות בתא C20 עבור פתרון x2:

קוד:

=(-C17-SQRT(POWER(C17,2)-4*B17*D17))/2*B17

ובמקרה שלנו, התוצאה היא: 16.18033989- (בקירוב)

(נ.ב במאמר בלינק כאן הסברתי אודות תפקידן את הפונקציות עבור החישוב לנוסחת השורשים).

כזכור לעיל, הפתרון השני הוא "שקר" ואינו מציאותי עבור מבנה גיאומטרי של קו, וכך נותר לו כאן רק הפתרון החיובי:

זוכרים את ההפתעה לעיל ? כן…בקשר ליחס הזהב וכו'...

תוכלו להבחין בהפתעה המדוברת גם באמצעות הצבת הנוסחה עבור כל יחס בפני עצמו:

זהו מבנה הנוסחה בתא D22:

קוד:

=10/C19

וזהו מבנה הנוסחה בתא B22:

קוד:

=C19/(10-C19)

והתוצאה היא:

נפלא מאוד!

ועד כאן לאקסל ולעולמן של הפונקציות…

מקווה שנהניתם מהמסע המופלא לאורכו של מאמר זה…

לינק לגיליון שיטס אודות פתרונו של המונח המתמטי "יחס בעל אמצעי ושתי קצוות" באקסל / גוגל שיטס - מצורף כאן.