הנושאים החמים
תמונת מקור - Leonardo AI
"כֵּיוָן שֶׁנִּגְמַל אֵיתָן זֶה, הִתְחִיל לְשׁוֹטֵט בְּדַעְתּוֹ וְהוּא קָטָן, וּלְחַשֵּׁב בַּיּוֹם וּבַלַּיְלָה,
וְהָיָה תָּמֵהַּ, הֵיאַךְ אֶפְשָׁר שֶׁיִּהְיֶה הַגַּלְגַּל הַזֶּה נוֹהֵג תָּמִיד וְלֹא יִהְיֶה לוֹ מַנְהִיג, וּמִי יְסַבֵּב אוֹתוֹ, לְפִי שֶׁאִי אֶפְשָׁר שֶׁיְּסַבֵּב אֶת עַצְמוֹ.
וְלֹא הָיָה לוֹ לֹא מְלַמֵּד וְלֹא מוֹדִיעַ דָּבָר, אֶלָּא מֻשְׁקָע בְּאוּר כַּשְׂדִּים בֵּין עוֹבְדֵי עֲבוֹדָה זָרָה הַטִּפְּשִׁים.
וְאָבִיו וְאִמּוֹ וְכָל הָעָם עוֹבְדִים עֲבוֹדָה זָרָה, וְהוּא הָיָה עוֹבֵד עִמָּהֶן,
וְלִבּוֹ מְשׁוֹטֵט וּמֵבִין, עַד שֶׁהִשִּׂיג דֶּרֶךְ הָאֱמֶת וְהֵבִין קַו הַצֶּדֶק מִדַּעְתּוֹ הַנְּכוֹנָה,
וְיָדַע שֶׁיֵּשׁ שָׁם אֱלוֹהַּ אֶחָד, וְהוּא מַנְהִיג הַגַּלְגַּל, וְהוּא בָּרָא הַכֹּל, וְאֵין בְּכָל הַנִּמְצָא אֱלוֹהַּ חוּץ מִמֶּנּוּ.
וְיָדַע שֶׁכָּל הָעָם טוֹעִים, וְדָבָר שֶׁגָּרַם לָהֶם לְטָעוּת זֶה, שֶׁעוֹבְדִים אֶת הַכּוֹכָבִים וְאֶת הַצּוּרוֹת, עַד שֶׁאָבַד הָאֱמֶת מִדַּעְתָּם.
וּבֶן אַרְבָּעִים שָׁנָה הִכִּיר אַבְרָהָם אֶת בּוֹרְאוֹ".
(משנה תורה לרמב"ם - הלכות עבודה זרה פרק א' הלכה ג')
תּתבוננו רגע בסדרת המספרים הזו. כלומר, ב 50 איבריה הראשונים:
0.1.1.2.3.5.8.13.21.34.55.89.144.233.377.610.987.1597.2584.4181.6765.10946.17711.28657.46368.75025.121393.196418.317811.514229.832040.1346269.2178309.3524578.5702887.9227465.14930352.24157817.39088169.63245986.102334155.165580141.267914296.433494437.701408733.1134903170.1836311903.2971215073.4807526976.7778742049
האם הסדרה הזו מוכרת לכם? אומרת לכם משהו?
ובכן, זו סדרה מתמטית "אינסופית" המכונה בשם - "סדרת פִיבּוֹנָאצִ'י" על שם המתמטיקאי האיטלקי לאונרדו מפיזה (הידוע בכינוי "פיבונאצ'י" שמשמעותו "בנו של בונאצ'י" - Filius Bonacci על שם אביו שכונה בונאצ'י), שתיאר אותה לראשונה באירופה בספרו "ספר החשבונייה" (בלטינית: Liber Abaci) בשנת 1202.
יומן מסע - חלק א:
הכול התחיל כאשר פיבונאצ'י הציג בספרו ניסוי מחשבתי (אידיאלי) עם ארנבות כדי להדגים צמיחה "מעריכית" מבוקרת.
הנחות היסוד של המודל הן:
א. מתחילים עם זוג ארנבות אחד (זכר ונקבה) שזה עתה נולדו.
ב. ארנבות יולדות בתום החודש השני לחייהן.
ג. כל זוג מוליד זוג נוסף (זכר ונקבה) בכל חודש.
ד. הארנבות אינן מתות לעולם. (תֵּיאוֹרְטִית בלבד...)
ניתוח התהליך חודש אחר חודש הוא כדלהלן:
חודש 1: זוג אחד של ארנבות צעירות. (סה"כ: 1)
חודש 2: הזוג מתבגר אך עדיין לא מוליד. (סה"כ: 1)
חודש 3: הזוג המקורי מוליד זוג חדש. (סה"כ: 2)
חודש 4: הזוג המקורי מוליד שוב; הזוג מהחודש הקודם מתבגר. (סה"כ: 3)
חודש 5: הזוג המקורי מוליד; הזוג מהחודש ה-3 מוליד; הזוג מהחודש ה-4 מתבגר. (סה"כ: 5)
החוקיות כאן ברורה. מספר הזוגות בכל חודש הוא סכום הזוגות שהיו קיימים בחודש הקודם (השורדים) פלוס מספר הזוגות החדשים שנולדו (שהוא מספר הזוגות שהיו קיימים לפני חודשיים וכבר יולדים).
כך נולדה הנוסחה הרקורסיבית: (על המונח "רקורסיה" כתבתי במאמר כאן )
על פי נוסחה זו, כל איבר הוא סכום שני קודמיו!
שימו לב, כי בספרות המקצועית (ובאתרים שונים ברשת) קיימות שתי גישות עיקריות לגבי נקודת ההתחלה של הסדרה:
1. הגישה המודרנית והאלגברית:
רוב המתמטיקאים ומדעי המחשב מגדירים את הסדרה החל מהאיבר 0.
הסיבה לכך היא עקביות מתמטית. כדי שנוסחת הנסיגה תתקיים עבור כל n>2 ועבור הערכים F2=1 ו F1=1, עלינו להניח שקיים איבר מקדים השווה לאפס.
בנוסף, נוסחת בינה (דלהלן) עובדת בצורה מושלמת עבור n=0 שכן היא מניבה את התוצאה 0.
2. הגישה ההיסטורית:
לאונרדו פיבונאצ'י עצמו, בבעיית הארנבות המפורסמת שלו, התחיל את הסדרה מהמספר 1. הסיבה לכך הייתה יישומית. המודל תיאר זוג ארנבות אחד שקיים בחודש הראשון.
בטבע ובמציאות, ספירה של עצמים מתחילה בדרך כלל מ-1 ולא מ"אין". לכן, בטקסטים היסטוריים רבים הסדרה נכתבת כך: 1.1.2.3.5
נתקדם שלב…
יומן מסע חלק ב:
תכירו, זהו "יחס הזהב"!
יחס הזהב (או חיתוך הזהב) הוא קבוע מתמטי המעסיק את המדע והאמנות כבר מאות שנים. זהו מספר אי רציונלי המסומן באות היוונית פִי.
כאמור, יחס הזהב הוא מספר אין סופי מעצם הגדרתו כאי רציונלי.
את 10000!!! הספרות הראשונות של יחס הזהב, תוכלו לראות באתר הזה למשל. בהצלחה!
המתמטיקאי האיטלקי לוקה פאצ'ולי מתקופת הרנסאנס, הקדיש ליחס הזהב ספר שלם, וכינה אותו "הפרופורציה האלוקית".
יומן מסע - חלק ג:
הקשר בין סדרת פיבונאצ'י ליחס הזהב הוא אחד הקשרים העמוקים והיפים ביותר במתמטיקה.
קשר זה מתגלה כאשר בוחנים את היחס בין שני איברי פיבונאצ'י עוקבים. ככל שמתקדמים בסדרה לאינסוף נגלה כי היחס בין Fn+1 בין Fn שואף בדיוק ליחס הזהב.
יומן מסע - חלק ד:
ספירלת פיבונאצ'י נבנית מתוך סדרה של ריבועים שאורכי צלעותיהם הם מספרי פיבונאצ'י עוקבים.
זה הולך ככה…
תחילה נשרטט ריבוע שאורך צלעו 1, כגודל האיבר הראשון. לריבוע זה נצמיד ריבוע נוסף בגודל 1x1, כך ששני הריבועים יוצרים מלבן שרוחבו 1 ואורכו 2, כגודל שני האיברים הקודמים בסדרה.
בשלב הבא, נצמיד למלבן ריבוע בגודל 2x2, ונקבל מלבן חדש בגודל 2x3. תוספת של ריבוע בגודל 3x3 תיצור מלבן בגודל 3x5, וכך הלאה.
בכל שלב, ההוספה של ריבוע שאורך צלעו הוא האיבר הבא בסדרת פיבונאצ'י יוצרת מלבן שאורכי צלעותיו הם שני איברי פיבונאצ'י עוקבים.
המלבנים המתקבלים מתקרבים יותר ויותר למלבן הזהב - מלבן שהיחס בין צלעותיו הוא יחס הזהב.
הנה ההמחשה לכך (מתוך הגיליון המצורף בלינק להלן).
וזהו כבר החלק המרתק בכל הסיפור…
בתוך כל ריבוע, נשרטט קשת המהווה רבע מעגל (זווית של 90°), המחברת בין שני קודקודים נגדיים של הריבוע.
מכיוון שכל ריבוע נשען על סכום הצלעות של קודמיו, הקשתות מתחברות זו לזו בצורה חלקה ויוצרות ספירלה רציפה שמתרחבת בכל רבע סיבוב.
התכונה המדהימה של הספירלה היא שככל שהיא מתרחקת מהמרכז, הצורה הגיאומטרית שלה נותרת זהה לחלוטין – היא פשוט הופכת לגדולה יותר.
המשמעות המתמטית היא שהיחס בין המרחק מהמרכז לבין הזווית הוא קבוע. בספירלת פיבונאצ'י, בכל רבע סיבוב (90°), המרחק מהמרכז גדל פי יחס הזהב.
מדהים!
יומן מסע - חלק ה:
לפני שממשיכים, תרשו לי לחזור לנוסחה הרקורסיבית לסדרת פיבונאצ'י.
תראו משהו, יש כאן "בעיה" ממש רצינית…
אתם יודעים מה הבעיה בחישוב הרקורסיבי הנ"ל?
הנה, אני אסביר. אם אתן לכל אחד מכם משימה לחשב את מספר ה 100 בסדרה תצטרכו לשם כך לדעת את ערכי הסדרה עבור F99 ו F98 וכדי לדעת את ערך הסדרה עבור F99 תצטרכו לדעת את ערכי הסדרה עבור F98 ו F97 וכן הלאה…
וזה כבר יכול להתיש אתכם ולהכאיב את ראשכם לא מעט…
מה הפתרון?
ובכן, הפתרון הוא נוסחת בִּינֶה (Binet's Formula) הגאונית.
הנוסחה קרויה על שמו של המתמטיקאי הפיזיקאי והאסטרונום הצרפתי ז'אק פיליפ מארי בינה (Jacques Philippe Marie Binet) שחי במאה 19.
אני יודע שהנוסחה הזו נראית לכם קשה ומסובכת…ואתם שואלים את עצמכם וואו באמת, מה הולך פה…
אז ראשית, לא להיבהל…אני אמחיש דוגמה לחישוב עבור מספר 3 בסדרת פיבונאצ'י וגם אסביר את הלוגיקה של הנוסחה "המפלצתית" הזו ואידך זיל גמור…
אז כזכור, סדרת פיבונאצ'י היא = 0.1.1.2.3.5 וכו'
המספר השלישי (n=3) בסדרה הוא - 2
אכן, n=3 בסדרת פיבונאצ'י שווה ל 2!!!
נפלא ומדויק!
באנלוגיה לבניית בניין. פי הוא השלד של הבניין, אבל הוא קצת עקום (הוא תמיד מספר עם המון שברים אחרי הנקודה).
פסי הוא ה"מיישר" של הבנין, בדיוק בזמן הנכון ובמקום הנכון…
כשאנחנו מעלים את יחס הזהב בחזקה, אנחנו תמיד מקבלים מספר "קצת עקום" (כלומר, אינו שלם אלא עם "הרבה מאוד" ספרות לאחר הנקודה העשרונית).
השאיפה שלנו היא להגיע למספר שלם והתפקיד של פסי שלנו הוא להחסיר או להוסיף בדיוק את השבר הקטן הזה כדי שהתוצאה הסופית תהיה מספר שלם ונקי.
למה הוא הולך ונעלם?
מכיוון שפסי הוא מספר קטן מ-1 וככל שנכפיל אותו בעצמו שוב ושוב (n גדול יותר), הוא פשוט ילך ויהיה קטן יותר.
באיזשהו שלב, הוא הופך לכל כך קטן שהוא כמעט לא משפיע, וזו הסיבה שמספרי פיבונאצ'י הגדולים הם פשוט יחס הזהב בחזקת n, מחולק בשורש 5.
סה טו!
יומן מסע - חלק ו:
ואם לא די בכל הטוב שלמדנו עד כה, הנה עוד הפתעה בכל הקשור לסדרת פיבונאצ'י.
להפתעה הזו קוראים - "זהות קָאסִינִי" והיא קרויה על שמו של האסטרונום האיטלקי-צרפתי ג'ובאני דומניקו קאסיני (שגילה אותה ב-1680).
זהו הניסוח המתמטי לזהות קסיני:
במילים פשוטות, הנוסחה אומרת את הדבר הבא:
קחו מספר פיבונאצ'י כלשהו (Fn), ותעלו אותו בריבוע. כעת, תכפילו את שני "שכניו" (כלומר, המספר שלפניו והמספר שאחריו). התוצאה תמיד תהיה בהפרש של בדיוק 1 מהריבוע שחישבתם.
הנה דוגמה לכך:
ניקח את הסדרה: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
נסתכל על 3: הריבוע שלו הוא 9 (9 = 3 * 3).
השכנים שלו הם 2 ו-5. המכפלה שלהם: 10 = 5 * 2 (הפרש של 1).
נסתכל על 5: הריבוע שלו הוא 25 (25 = 5 * 5).
השכנים הם 3 ו-8. המכפלה שלהם: 24 = 8 * 3 (הפרש של 1).
נסתכל על 8: הריבוע שלו הוא 64 (64 = 8 * 8).
השכנים הם 5 ו-13. המכפלה שלהם: 65 = 13 * 5 (הפרש של 1).
ואידך זיל גמור…
יומן מסע - חלק ז:
אני מניח שכעת אתם שואלים את עצמכם, רגע רגע, למה זה קורה בכלל?
שאלה מצוינת. התשובה שתקראו תיכף מניחה את הדעת ומסבירה את הלוגיקה שבדבר.
יחס הזהב הוא היחס המושלם. בסדרה של מספרים שלמים, אי אפשר להגיע ל-1.618 בדיוק, כי אלו מספרים שלמים. לכן, הסדרה "רודפת" אחרי היחס הזה.
בכל צעד, הסדרה מנסה להתקרב ליחס הזהב. פעם אחת היא "מפספסת" קצת מלמעלה (היחס גדול מדי).בצעד הבא, כדי לפצות על כך, היא "מפספסת" קצת מלמטה (היחס קטן מדי).
התוצאה היא תנועת מטוטלת!
דמיינו רגע מטוטלת שמתנדנדת סביב קו האמצע (יחס הזהב). היא אף פעם לא עוצרת בדיוק על הקו, אלא עוברת מעליו ומתחתיו. הביטוי (1-) בחזקת n הוא התיאור המתמטי של התנועה הזו ימינה ושמאלה מהמרכז.
פשוט נפלא וגאוני…
יומן מסע חלק ח:
להפתעה הזו יש המשך מרתק. כדאי לכם לקרוא!
האם שמעתם על פרדוקס לוח השחמט (Chessboard paradox) או בשמו הנוסף "פאזל ריבוע חסר" (Missing square puzzle) ?
לעיתים, פרדוקס זה מיוחס לממציא החידות האמריקאי סם לויד (Sam Loyd) ולמתמטיקאי הגרמני אוסקר שלומילך (Oskar Schlömilch), והוא הולך ככה:
קרדיט תמונה - pinterest
הניסוי:
1. ניקח ריבוע שצלעותיו הן 8 על 8. השטח שלו הוא 64 (64 = 8 * 8)
2. נחתוך את הריבוע לארבע צורות (שני טרפזים ושני משולשים).
3. נסדר את אותן צורות בדיוק כך שייצרו מלבן שצלעותיו הן 5 על 13(שימו לב כי מידות המלבן הן 5 ו 13 הנכללות בסדרת פיבונאצ'י, זהו פרט מאוד חשוב להבנת הפתרון!).
הפרדוקס הוא:
אם נחשב שוב את השטח של המלבן החדש זה יצא 65 (שהרי 65 = 5 * 13)
ונשאלת השאלה, מאין נוספה יחידת שטח נוספת אחת? (1 = 64 - 65)
מה קורה פה?
הפתרון לכך נעוץ ומוסבר באמצעות "זהות קסיני".
בגלל שההפרש בין המכפלה (13*5) לריבוע (8*8) הוא בדיוק 1, "הקסם" הזה מתאפשר.
במציאות, הצורות לא מתחברות בצורה מושלמת. (בשל החישובים הגיאומטרים הרבים לא נכנסתי במאמר זה לפרטם אחד לאחד עד לקבלת התוצאה 1, אך למי מכם שירצה בכך ניתן לראות את פירוט החישוב בלינק כאן. בהצלחה!) לאורך האלכסון של המלבן נוצר חריץ דק מאוד בצורת מעוין מוארך. השטח של החריץ הזה הוא בדיוק 1. העין האנושית לא מבחינה בו בקלות, ולכן זה נראה כמו פרדוקס.
בקיצור, מדובר כאן באשליה אופטית ותו לא!
במשך מאות שנים ניסו פילוסופים ומדענים לפענח את "השפה" שבה נכתב היקום.
עבור האדם המאמין, התשובה טמונה בפסוק שבו פותחת התורה הקדושה:
"בְּרֵאשִׁית בָּרָא אֱלֹהִים, אֵת הַשָּׁמַיִם וְאֵת הָאָרֶץ".
כאשר אנו מתבוננים בעולם, אנו מגלים דפוס החוזר על עצמו בעקביות מדהימה, סדרת פיבונאצ'י (0,1,1,2,3,5,8,13,21…) שבה כל מספר הוא סכום שני קודמיו, ויחס הזהב (1.618…)שהוא היחס המתמטי אליו שואפת הסדרה.
יחס זה אינו רק מספר, הוא מייצג את הדרך היעילה, החכמה, האסתטית והחזקה ביותר שבה חומר יכול להתארגן במרחב. אין זה מקרה שדווקא היחס הזה שולט בכל – מהמבנה המולקולרי של ה-DNA ועד לזרועות הגלקסיה. זוהי "טביעת האצבע" של הבורא, שהטביע בתוך החומר חוקיות מתמטית המעידה על אחדות ותכנון.
אנו מחויבים לידע שאין יכולת בידי בן אנוש להשיג את עצמותו יתברך וכל השגתינו בו יתברך הוא באמצעות "פעולותיו" בנבראים כמו שהאריך רבינו הרמב"ם ז"ל בספרו "מורה נבוכים" (חלק א' פרק נ"ד) בביאור בקשתו של משה רבינו ע"ה ומה שהשיב לו הקב"ה "וְרָאִיתָ אֶת אֲחֹרָי, וּפָנַי לֹא יֵרָאוּ". עיין שם.
וממילא הוא שאין הכוונה בכל הדוגמאות דלהלן להשיב על השאלה "למה" הבורא ברא כך בדווקא? כי שאלת "למה" היא "טרנסנדנטלית" שאין ביכולת הנברא - המוגבל להשיב ועל כך אמר צופר הנעמתי לאיוב (איוב י"א.ז') "הַחֵקֶר אֱלוֹהַּ תִּמְצָא, אִם עַד תַּכְלִית שַׁדַּי תִּמְצָא".
וכל כוונתינו בכל אלה היא לראות "בְּמָה" קרי, במה שאנו יודעים ומשיגים אנו הנבראים בעין, בחוש ובשכילנו את העולם החומרי.
וגם בזה, הדוגמאות הן אין ספור ואם נבוא למנותם כולן "יִכְלֶה הַזְמַן וְהֵם לֹא יִכְלוּ". ובכל זאת, לפטור בלי כלום אי אפשר. ולכן אפרט ואלקט כמה וכמה דוגמאות שכל אחת מהן קמה וניצבה "כמאה עדים" להעיד מתוכה על מציאות הבורא וחכמתו יתברך ויתעלה.
בעולם הצומח - בוטניקה:
1. פילוטקסיס (Phyllotaxis), זהו המונח המדעי לאופן סידור העלים על פני הגבעול. כדי שכל עלה יקבל מקסימום שמש ומינימום הסתרה, הבורא יתברך תכנן אותם שיצמחו בזווית של 137.5 מעלות (זווית הזהב. ההסבר לכינוי זה הוא: מעגל שלם מכיל 360 מעלות. אם נחלק את המעגל לשני חלקים כך שהיחס ביניהם יהיה יחס הזהב נקבל את זווית הזהב. החישוב הוא כזה 222.5 = 1.618033 / 360 הזווית "המשלימה" ל-360 היא: 137.5 = 222.5 - 360).
2. עלי כותרת בפרחים: מספרי העלים הוא כמעט תמיד מספרי פיבונאצ'י (3.5.8.13 ואף יותר).
בעניין זה, הסופר והמדען האמריקאי אירווינג אדלר (Irving Adler) חיבר על כך ספר שלם שנקרא "Solving the Riddle of Phyllotaxis" (פתרון חידת הפילוטקסיס).
3. האִצְטְרֻבָּל הוא אחת הדוגמאות המוחשיות והמרשימות ביותר בטבע לסידור לפי "זווית הזהב" (137.5 מעלות) ומספרי פיבונאצ'י בהשגחה אלוקית.
"הקשקשים" באצטרובל אינם צומחים סתם כך, אלא מסודרים בשתי מערכות של ספירלות הנעות בכיוונים מנוגדים (עם כיוון השעון ונגד כיוון השעון).
אם נספור את מספר הספירלות הפונות ימינה ואלו הפונות שמאלה, נגלה שהן תמיד שני מספרי פיבונאצ'י עוקבים. בדרך כלל מדובר ב-8 ספירלות לצד אחד ו-13 לצד השני, או 13 ו-21 באצטרובלים גדולים יותר.
כל קשקש חדש נוצר במרכז האצטרובל בזווית של בדיוק 137.5 מעלות (זווית הזהב) ביחס לקשקש הקודם. זהו הסידור היחיד שמאפשר לקשקשים להידחס בצורה כה הדוקה וסימטרית, מבלי להשאיר חללים ריקים, מה שמעניק לאצטרובל חוזק מבני להגן על הזרעים שבתוכו. פלא פלאים!
4. פרי האננס. מי מאיתנו לא אוהב את ריחו וטעמו של הפרי הטרופי הזה? הקב"ה ברא לנבראיו פרי כל כך מתוק ועסיסי. (הידעתם? מקור השם אננס הוא מהמילה הטופית "אננה" שמשמעותה "פרי טוב".)
אם תתבוננו בקליפתו החיצונית של פרי האננס באותם משושים (דמויי "העיניים") תגלו כי הם מאורגנים בהשגחה עליונה ונפלאה בשתי ספירלות משולבות, 8 סיבובים בכיוון אחד ו-13 באחר.
המבנה הזה מקנה לפרי "אריזה אופטימלית" תוך כדי "ניצול" להגנת כל שטח הפרי ללא שום חלל ריק.
גם בפרי זה כל קשקש חדש נוצר בראש האננס בזווית של 137.5 מעלות ביחס לקודמו, זווית הזהב…זוכרים?
5. החמנית המצויה (או בקיצור חמנייה) היא אחת הדוגמאות הנפלאות המהווה עדות מוצקה למציאות הבורא והשגחתו על כל נברא ונברא.
אם נתבונן במרכז החמנייה, נראה רשת מרהיבה של ספירלות שנעות בכיוונים מנוגדים. כאשר נספור את הספירלות נגלה כמעט תמיד שני מספרי פיבונאצ'י עוקבים. בדרך כלל מדובר ב-34 ספירלות לצד אחד ו-55 לצד השני. בחמניות ענק, המספרים יכולים להגיע ל-89 ו-144.
וכן, גם בחמנייה, כל אחד מזרעי הצמח מסודר במרכז הפרח באופן מופתי בזווית של בדיוק 137.5 מעלות ביחס לזרע שקדם לו.
הדיוק של החמנייה הוא פלא שאין לו הסבר מקרי. שבריר של סטייה בזווית (למשל 137.4 או 137.6 מעלות) היה הורס את המבנה כולו והספירלות שבה לא היו נפגשות.
העובדה שהצמח "מחשב" את צעדיו בדיוק של חלקי מעלה מוכיחה שישנו תכנון תבוני המכוון כל פרט בבריאה.
הפלא קורה גם בעלי הכותרת הצהובים .מספרם הוא בדרך כלל מספרי פיבונאצ'י.
העלים לאורך הגבעול מסודרים אף הם לפי זווית הזהב (137.5 מעלות). בכך, מי הגשם שנוחתים על העלה העליון יכולים לזלוג למטה בנתיב ספירלי ולהגיע לכל העלים בדרך, כמו כן, בסידור הזה כל עלה מקבל חשיפה מקסימלית לשמש מבלי שהעלה מעליו יטיל עליו צל.
יתעלה שמו יתברך!
כל כולו של צמח זה (החמנייה) הוא שיעור מוחשי באמונה!
בעולם החי - זואולוגיה:
הנאוטילוס (Nautilus) הוא בעלי חי ימי. לנאוטילוס קיימת קונכייה סלילית ומספר זרועות ציד קצרות. הצבעים של הקונכייה הם אדום ולבן לסירוגין.
קונכיית הנאוטילוס בנויה כספירלה לוגריתמית מושלמת. בניגוד לספירלה רגילה (כמו חבל מגולגל), שבה המרחק בין הסיבובים קבוע, בספירלה של הנאוטילוס הרדיוס גדל בכל סיבוב ביחס קבוע השואף ליחס הזהב.
הנאוטילוס חי בעומקים של מאות מטרים, שבהם לחץ המים אדיר. ולשם כך הבורא יתברך הכין לבעל חי זה כל צרכו ותכנן עבורו את מבנה הספירלי בקונכיה המבוסס על יחס הזהב שתהא הצורה ההנדסית החזקה ביותר בטבע לפיזור לחצים (על פי חוקי הטבע "הקבועים" שבהם הקב"ה מנהיג את עולמו). הקשתות והקימורים המתמטיים מונעים מהקונכייה לקרוס פנימה, מדהים!
בנזר הבריאה - האדם. אנטומיה ופיזיולוגיה:
"וַיִּיצֶר יי אֱלֹהִים אֶת הָאָדָם עָפָר מִן הָאֲדָמָה וַיִּפַּח בְּאַפָּיו נִשְׁמַת חַיִּים, וַיְהִי הָאָדָם לְנֶפֶשׁ חַיָּה".(בראשית ב'.ז').
האדם שנוצר "בדמות" המציאות כולה משקף את היופי המוחלט.
מבנה גופו של האדם שהוא שיא "הפרופורציה האלוקית" המושלמת שימש מאז ומתמיד קנה מידה לפרופורציה האלוקית.
ממבנה גופו בנה לו האדם את הצורות הגיאומטריות, המושג "חיתוך הזהב" המקובל באומנות, צילום ואדריכלות מקורו בפרופורציה של גוף האדם.
בזוהר הקדוש ובספרי המקובלים האריכו על הרמזים והסודות של כל אברי הגוף החיצוניים והפנימיים.
וכך הוא לשון הזוהר הקדוש (זוהר חדש שיר השירים דף פ"ו עמוד ב') :
"חָכְמְתָא דְאִצְטְרִיךְ לֵיהּ לְבַר נָשׁ. חַד, לְמִנְדַע לְאִסְתַּכָּלָא בְּרָזָא דְמָארֵיהּ. וְחַד, לְמִנְדַע לֵיהּ לְגוּפֵיהּ, וּלְאִשְׁתְּמוֹדָע מֵאָן אִיהוּ. וְאֵיךְ אִתְבְּרֵי, וּמֵאָן אָתֵי. וּלְאָן יְהַךְ. וְתִיקּוּנָא דְגוּפָא, הֵיאַךְ אִתְתַּקַּן. וְהֵיאַךְ אִיהוּ זַמִּין לְמֵיעַל בְּדִינָא קַמֵּי מַלְכָּא דְכוֹלָּא".
(תרגום: הַחָכְמָה שֶׁצָּרִיךְ לוֹ לָאָדָם, אֶחָד - לָדַעַת לְהִסְתַּכֵּל בְּסוֹד רִבּוֹנוֹ. וְאֶחָד - לָדַעַת וּלְהַכִּיר אֶת גּוּפוֹ, וּלְהִוָּדַע מִי הוּא, וְאֵיךְ נִבְרָא, וּמֵאֵיפֹה בָּא, וּלְאֵיפֹה הוֹלֵךְ. וְהַתִּקּוּן שֶׁל הַגּוּף אֵיךְ מִתְתַּקֵּן, וְאֵיךְ
הוּא עָתִיד לְהִכָּנֵס לַדִּין לִפְנֵי הַמֶּלֶךְ שֶׁל הַכֹּל).
וכפי שהזכרתי במאמר בלינק כאן - המונח אבי"ע הוא ראשי תיבות של ארבעת שלבי התהוות היקום - אצילות, בריאה, יצירה ועשיה. כאשר תחילתו הוא בהארה רוחנית דקה שממנה נאצל עולם רוחני זך ששמו עולם האצילות, הארה זו "השתלשלה" למטה עד לעולם העשיה כאשר בתחתיתו של עולם העשיה התגשם עולם החומר - היקום וגם האדם.(כלומר גופו החומרי).
האדם הרוחני כלול מ 10 ספירות עם חלוקות ובחינות "אין קץ", הוא השורש והסיבה "לצורת" גוף האדם החומרי. כלומר, שהגוף החומרי הוא "העתק" ממבנה המערכת הרוחנית.
וכלפי גופו ואבריו החומריים של האדם נאמר באיוב (י"ט.כ"ו) "וּמִבְּשָׂרִי אֶחֱזֶה אֱלוֹהַּ". כי השגחתו של הקב"ה יתעלה שמו ניכרת וחתומה בכל פרט ופרט עד אין חקר באדם כאורגניזם בכללותו ועד למיקרו קרי ה D.N.A והתאים בגוף האדם.
כאמור, הקב"ה בחכמתו יצר את האדם בתכלית שלמות היופי של פרופורציה וסימטריה.
הנה כמה דוגמאות לכך (בבחינת "טיפה מן הים") "ממחקרים" שנעשו בעניין זה:
בפנים של האדם:
היחס בין גובה הפנים (מהמצח ועד הסנטר) לרוחב הפנים (מהלחי השמאלית ללחי הימנית) הוא בקירוב יחס הזהב 1.618
רוחב הפה בהשוואה לרוחב האף הוא בקירוב 1.618.
רוחב האף הוא בערך פי 1.618 מהמרחק בין העיניים.
המרחק בין ראש האף למרכז השפתיים נוטה להיות בערך פי 1.618 מהמרחק ממרכז השפתיים לסנטר.
באצבעות הידיים:
אצבעות היד האנושית מורכבות ממערכת מורכבת של 14 עצמות (גלילים - Phalanges) כאשר אצבעות 2-5 (אצבע - זרת) כוללות שלושה גלילים. פרוקסימלי (מקורב), מדיאלי (אמצעי), ודיסטלי (מרוחק). והאגודל מורכב משני גלילים בלבד (פרוקסימלי ודיסטלי),
וסימנך י"ד בגימטריה 14, כנגד 14 העצמות שבאצבעות כל יד.
הקב"ה יצר לאדם את אצבעותיו בסימטריה נפלאה כאשר היחס בין כל מקטע למקטע הקרוב אליו הוא בקירוב ליחס הזהב 1.618.
כמו כן. היחס בין האמה (משורש כף היד עד למרפק) לבין כף היד (עד לקצה אצבע 3 - אמה) הוא בקירוב ליחס הזהב 1.618
בסליל ה D.N.A:
מולקולת ה D.N.A - אותה מולקולת "ענק" שמקודד בה כל המידע התורשתי - גנטי של האדם, בנויה כסולם לולייני כפול.
כאשר בוחנים את המידות שלו ברמה מיקרוסקופית (ביחידות אנגסטרם) מגלים התאמה קרובה למספרי פיבונאצ'י.
כל מחזור מלא של סליל ה-DNA הוא באורך (דהיינו אורך סיבוב של הציר) של כ 34 אנגסטרם וברוחב של כ 21 אנגסטרם.
כזכור, המספרים 21 ו-34 הם מספרי פיבונאצ'י עוקבים. היחס ביניהם הוא 1.619, שזהו קירוב מדויק ביותר ליחס הזהב 1.618
מדהים!
בכימיה ופיזיקה:
פרופ' דן שכטמן זכה בפרס נובל על גילוי "הקוואזי-גבישים" בניגוד לגבישים רגילים, להם אין סדר מחזורי פשוט, אך יש להם סדר מושלם המבוסס על סימטריה מחומשת ויחס הזהב.
זוהי עוד הוכחה שסדר אלוקי יכול להתקיים בדרכים מורכבות יותר ממה שהמדע שיער. יחס הזהב הוא מפתח לסוג חדש של חומר יציב.
ואפרופו ספירלות, אי אפשר שלא להזכיר את סופות ההוריקן. צילומי לוויין מראים בבירור שסופות הוריקן מסתחררים בספירלה המדויקת של פיבונאצ'י / יחס הזהב.
מכאן ניתן ללמוד כי גם בכוחות הטבע ההרסניים והעצומים ביותר, קיים סדר מתמטי על ידי הבורא השומר ומשגיח על יציבות המבנה של הסערה עצמה.
גם בזמן הדין רח"ל, הכול נעשה במידה ובמסורה ובהשגחה עליונה. גבול שמת בל יעבורון…
ומן המעט מן המעט של הדוגמאות שהבאתי לעיל יש בהן ובכוח כל אחת מהן להפעים כל לבב לראות בגדלותו יתברך ובחכמתו האינסופית שנתלבשה בנבראיו, ובכולם עיניו פקוחה להשגיח עליהם ולתת לכל בריה ובריה די מחסורה ומה שנצרך לה בדיוק מושלם.
אברהם אבינו ע"ה "הִתְחִיל לְשׁוֹטֵט בְּדַעְתּוֹ וְהוּא קָטָן, וּלְחַשֵּׁב בַּיּוֹם וּבַלַּיְלָה, וְהָיָה תָּמֵהַּ, הֵיאַךְ אֶפְשָׁר שֶׁיִּהְיֶה הַגַּלְגַּל הַזֶּה נוֹהֵג תָּמִיד וְלֹא יִהְיֶה לוֹ מַנְהִיג, וּמִי יְסַבֵּב אוֹתוֹ, לְפִי שֶׁאִי אֶפְשָׁר שֶׁיְּסַבֵּב אֶת עַצְמוֹ" כלשון הרמב"ם שהבאתיו בפתיחתו של מאמר זה.
ומכח זה הגיע להאמין בבורא יתברך!
"וְלִבּוֹ מְשׁוֹטֵט וּמֵבִין, עַד שֶׁהִשִּׂיג דֶּרֶךְ הָאֱמֶת וְהֵבִין קַו הַצֶּדֶק מִדַּעְתּוֹ הַנְּכוֹנָה, וְיָדַע שֶׁיֵּשׁ שָׁם אֱלוֹהַּ אֶחָד, וְהוּא מַנְהִיג הַגַּלְגַּל, וְהוּא בָּרָא הַכֹּל, וְאֵין בְּכָל הַנִּמְצָא אֱלוֹהַּ חוּץ מִמֶּנּוּ".
מה נואלו טפשי אומות העולם והמינים שגם לאחר שרואים בחוש את כל המופתים הללו בעולם הגשמי עדיין תולים הכל "בכוח העצמי של הטבע" והאבולוציה ושאר מיני הבל וריק - עפרא לפומייהו.
"שְׂאוּ מָרוֹם עֵינֵיכֶם וּרְאוּ מִי בָרָא אֵלֶּה" (ישעיהו מ'.כ"ו)
כל הבריאה כולה "זועקת" - יש מנהיג לבירה!
צריך רק "לראות"!
צריך רק "להתבונן"!
כעת בואו ותראו איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…
ובכן, בצילום מסך הנ"ל (מתוך הגיליון המצורף בלינק להן) תוכלו לראות איך כל החשבונות המתמטיים שלמדנו לעיל מיושמים בגיליון האקסל / שיטס בעזרת נוסחאות ופונקציות.
אני אסביר:
בעמודה A - קיימת סדרת מספרים עוקבים המתחילה ב - 0. מספרים אלו הם ה - n של סדרת פיבונאצ'י.
בעמודה B - קיימת סדרת פיבונאצ'י כאשר האיבר הראשון שבה הוא 0 (עיין בפתיחתו של מאמר זה).
כלומר F0 הוא האיבר הראשון (ה 0 הוא למעשה ה n) בסדרה וערכו הוא 0. (זה מבלבל קצת, אני יודע…אך שימו לב לניסוח ולהגדרה!)
כזכור - הנוסחה לסדרת פיבונאצ'י היא:
בתאי האקסל / שיטס, החישוב מתבצע (החל מ F2) באמצעות פונקציית sum קלאסית.
זהו מבנה הפונקציה בתא B4:
קוד:
=SUM(B2,B3)בעמודה C - קיימת נוסחת בינה עבור כל n בסדרת פיבונאצ'י. על נוסחה זו ומשמעותה הרחבתי לעיל בחלק ה' עיין שם.
כזכור:
אני מזכיר שוב שכיוון שפסי הוא מספר קטן מ-1 וככל שנכפיל אותו בעצמו שוב ושוב (n גדול יותר), הוא פשוט ילך ויהיה קטן יותר.
באיזשהו שלב, הוא הופך לכל כך קטן שהוא כמעט לא משפיע, וזו הסיבה שמספרי פיבונאצ'י הגדולים הם פשוט יחס הזהב בחזקת n, מחולק בשורש 5.
זהו מבנה הפונקציות בתא C4:
קוד:
=ROUND(POWER((1+(SQRT(5)))/2,A4)/SQRT(5))במאמר כאן הסברתי אודות פונקציית power ופונקציית sqrt.
תחילה אנו מחשבים את "פי" בנפרד (כזכור, ערכו הוא 1 + שורש 5 לחלק ל 2) ומעלים אותו בחזקת n מבלי לחסר את "פסי" בחזקת n (כיוון שמדובר במספר מאוד קטן כלומר, מספר "זניח") ואז מבצעים פעולת חילוק בשורש 2 .
ואז לסיום, פונקציית round "מעגלת" את המספר העשרוני למספר השלם הקרוב ביותר.
כפי שאתם רואים. התוצאות בעמודה c הן זהות לתוצאות בעמודה B.
זה רק מבשר לנו שהכול עובד מצוין בדיוק כמו שצריך להיות!
הנוסחה הזו באמת גאונית ומהווה תחליף מצוין לנוסחת פיבונאצ'י והשיטה הרקורסיבית.
בעמודה D - תוכלו להבחין כי ככל שמתקדמים במספרי הסדרה - התוצאות יותר ויותר מתקרבות "ליחס הזהב".
זהו מבנה הנוסחה בתא D4:
קוד:
=B4/B3פשוט נפלא!
בעמודה E - מתקיים החישוב של "האגף השמאלי" בנוסחת "קסיני".
ניזכר רגע במה שהסברתי לעיל (בחלק ו):
במילים פשוטות, הנוסחה אומרת את הדבר הבא:
קחו מספר פיבונאצ'י כלשהו (Fn), ותעלו אותו בריבוע. כעת, תכפילו את שני "שכניו" (כלומר, המספר שלפניו והמספר שאחריו). התוצאה תמיד תהיה בהפרש של בדיוק 1 מהריבוע שחישבתם.
זהו מבנה הפונקציות בתא E3:
קוד:
=OFFSET(B3,-1,0)*OFFSET(B3,1,0)-POWER(B3,2)תחילה, יש למצוא את שני "שכניו" של (Fn) באמצעות פונקציית offset הנפלאה והגאונית (הסברתי בהרחבה אודותיה ועל הלוגיקה שבה במאמר בלינק כאן ) ולהכפילם זה בזה באמצעות אופרטור הכפל *.
לסיום - יש לחסר את (Fn) בריבוע. כלומר במעריך 2 (באמצעות פונקציית power).
התוצאה היא = 1-
רגע רגע…לקסם הזה יש גם המשך…
בעמודה F - מתקיים החישוב של "האגף הימני" בנוסחת "קסיני".
זהו מבנה הפונקציה בתא F3:
קוד:
=POWER(-1,A3)כאן, מתבצעת פעולת חזקה כאשר "הבסיס" הוא מינוס 1 והמעריך הוא ה - n שנכתב בעמודה A.
זהות קסיני קובעת כי קיים שוויון בין התוצאות.
כפי שאתם רואים, התוצאות בתא E3 ובתא F3 הן זהות = 1-
ואידך זיל גמור…
נקודה נוספת:
תוכלו להבחין בעמודה F "בזִגְזוּג" בין 1 למינוס 1 באופן מדויק ומופתי.
זה קורה בגלל "חוקי החזקות" דלהלן:
וכמו שכתבתי לעיל:
דמיינו רגע מטוטלת שמתנדנדת סביב קו האמצע (יחס הזהב). היא אף פעם לא עוצרת בדיוק על הקו, אלא עוברת מעליו ומתחתיו. הביטוי (1-) בחזקת n הוא התיאור המתמטי של התנועה הזו ימינה ושמאלה מהמרכז.
פשוט נפלא וגאוני…
ועד כאן לאקסל ולעולמן של הפונקציות…
מקווה שנהניתם…
מקווה שהחכמתם…
לסיום, אפרופו הנזכר לעיל בכמה וכמה דוגמאות מן העולם החומרי (והאדם בכללם) איך מתגלמת חכמתו האינסופית של הבורא יתברך והשגחתו בעינא פקיחא בכל הנבראים כולם, אחתום בדברי "הנשר הגדול" - רבינו הרמב"ם ז"ל בהלכות יסודי התורה (פרק ב' הלכה ב') :
"וְהֵיאַךְ הִיא הַדֶּרֶךְ לְאַהֲבָתוֹ וְיִרְאָתוֹ?
בְּשָׁעָה שֶׁיִּתְבּוֹנֵן הָאָדָם בְּמַעֲשָׂיו וּבְרוּאָיו הַנִּפְלָאִים הַגְּדוֹלִים, וְיִרְאֶה מֵהֶם חָכְמָתוֹ שְׁאֵין לָהּ עֵרֶךְ וְלֹא קֵץ מִיָּד הוּא אוֹהֵב וּמְשַׁבֵּחַ וּמְפָאֵר וּמִתְאַוֶּה תַּאֲוָה גְּדוֹלָה לֵידַע הַשֵּׁם הַגָּדוֹל, כְּמוֹ שֶׁאָמַר דָּוִיד צָמְאָה נַפְשִׁי, לֵאלֹהִים לְאֵל חָי
וּכְשֶׁמְּחַשֵּׁב בַּדְּבָרִים הָאֵלּוּ עַצְמָן, מִיָּד הוּא נִרְתָּע לַאֲחוֹרָיו, וְיִירָא וְיִפְחַד וְיֵדַע שְׁהוּא בִּרְיָה קְטַנָּה שְׁפָלָה אֲפֵלָה, עוֹמֵד בְּדַעַת קַלָּה מְעוּטָה לִפְנֵי תְּמִים דֵּעוֹת, כְּמוֹ שֶׁאָמַר דָּוִיד כִּי אֶרְאֶה שָׁמֶיךָ…מָה-אֱנוֹשׁ כִּיתִזְכְּרֶנּוּ.
וּלְפִי הַדְּבָרִים הָאֵלּוּ אֲנִי מְבָאֵר כְּלָלִים גְּדוֹלִים מִמַּעֲשֶׂה רִבּוֹן הָעוֹלָמִים, כְּדֵי שֶׁיִּהְיוּ פֶּתַח לַמֵּבִין לֶאֱהֹב אֶת הַשֵּׁם, כְּמוֹ שֶׁאָמְרוּ חֲכָמִים בְּעִנְיַן אַהֲבָה, שֶׁמִּתּוֹךְ כָּךְ אַתָּה מַכִּיר אֶת מִי שֶׁאָמַר וְהָיָה הָעוֹלָם".
עד כאן לשונו ז"ל.
לינק לגיליון שיטס אודות החישוב לסדרת פיבונאצ'י (כולל את נוסחת בינה + זהות קסיני) באקסל / גוגל שיטס - מצורף כאן.
- Next article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 87 ▪︎ הנה כמה מילים על המונח המתמטי "יחס בעל אמצעי ושתי קצוות" ופתרונו במתמטיקה ובאקסל / גוגל שיטס ▪︎ יחס הזהב - מאמר המשך
- Previous article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 85 ▪︎ בביאור המשנה "נפל לתוכו דבש ותבלין והשביחו, השבח לפי חשבון" ▪︎ יחס ופרופורציה - מאמר המשך
